Линейные уравнения с параметром. Уравнения с параметром Решение системы уравнений с параметрами на c

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение Гимназия

Секция математика

Решение систем уравнений с параметром

Работу выполнила: учащаяся 11 класса "А"

Чиркова Елизавета Васильевна

Руководитель: учитель математики

Баталова Елена Владимировна

Чайковский, 2012

Оглавление

• Введение
• I. Теоретическая часть
• II . Практическая часть
• Заключение

Введение

В нашей жизни важно получить высшее образование. И чтобы быть успешным необходимо закончить высшее учебное заведение. Но перед этим очень важно сдать единый государственный экзамен. А сдать ЕГЭ поможет только очень хорошая подготовка к нему. Больше всего баллов в ЕГЭ по математике можно получить за часть С. А в части С могут встретиться задачи повышенной сложности с переменной.

В своей исследовательской работе я рассматриваю только системы с параметром.

Проблема: Задачи с параметрами вызывают большие затруднения у учеников. Это связано с тем, что решение таких задач требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и хорошей техники исследования.

Объектная область исследования: область стереометрии.

Предмет исследования: системы с параметром.

Цель: Нахождение методов и способов решения систем с параметром; выявление алгоритма действий.

Гипотеза: Системы с неизвестным параметром можно решить, если знать различные методы и способы по решению системы.

В связи с поставленной целью и выдвинутой гипотезой были сформулированы следующие задачи:

1. Изучение научной литературы по данной теме.

2. Изучение таких понятий, как: цилиндр, конус, шар, их построение.

3. Поиск задач с телами вращения в литературе.

4. Решение найденных задач разными способами.

Методы исследования:

1. Анализ литературных и Интернет источников.

2. Моделирование.

3. Сравнение.

4. Методы визуализации данных.

5. Описание.

I. Теоретическая часть

Линейная функция: - уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси .

Линейные уравнения с параметрами

Уравнение

Если , уравнение имеет единственное решение.

Если , тоуравнение не имеет решений , когда , и уравнение имеет бесконечно много решений , когда .

Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами.

Пример: ax+b=c .

В этом уравнении х - неизвестное, a,b,c - коэффициенты, которые могут принимать различные числовые значения. Заданные таким образом коэффициенты называются параметрами.

Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.

Решить уравнение с параметрами - это значит:

1. Указать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.

2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение определяет корень уравнения.

Обратимся к уже приведенному уравнению с параметрами ax+b=c и решим его.

система уравнение параметр корень

Если а 0, то. Если а= 0, то получаем b=c , если это действительно так, то корнем уравнения является любое действительное число, если же b c , то уравнение решений не имеет.

Таким образом, мы получили: при а 0 , ; при а=0 и b=c, х - любое действительное число; при а=0 и b c, уравнение корней не имеет.

В процессе решения этого уравнения мы выделили значение параметра а=0 , при котором происходит качественное изменение уравнения, такое значение параметра мы в дальнейшем будем называть "контрольным". В зависимости от того, какое уравнение мы имеем, "контрольные" значения параметра находятся по-разному. Рассмотрим различные типы уравнений и укажем способ нахождения "контрольных" значений параметра.

II. Практическая часть

Задание № 1. а система

у = х 2 - 2х 2,

х 2 + у 2 + а 2 = 2х + 2ау

имеет решения?

Решение.

Перепишем исходную систему в виде

(х - 1 2 = у + 1,

(у - а ) 2 + (х - 1 ) 2 = 1 .

Отсюда приходим к системе

(у - а ) 2 + у +1= 1

У + 1 ? 0 .

или к системе

у 2 + (1-2а ) у + а 2 = 0,

у ? - 1 .

Решая первое уравнение этой системы, находим, что у 1,2 = .

Требование задачи будет выполнено, если последняя смешанная система имеет хотя бы одно решение. Искомые значения а находятся из неравенства

1, решая которое, получаем а [ -2, ].

Ответ: а [ -2, ].

Задание №2. При каких значениях параметров а и b система имеет бесконечно много решений?

Решение.

На координатной плоскости хОу множество точек, удовлетворяющих любому из уравнений системы - прямые. А тогда решением системы будут точки пересечения этих прямых. Поэтому исходная система будет иметь бесконечное множество решений в том и только в том случае, когда эти прямые совпадают. В общем случае две прямые, заданные уравнениями и совпадают, если, и (при они имеют одну точку пересечения, при и точек пересечения у них нет). Следовательно, система будет иметь бесконечно много решений в том случае, когда совместна система

Решая систему, получаем, .

Ответ: , .

Задание №3. При каких значениях параметра а хотя бы при одном значении параметра с система имеет решения для любых значений параметра b ?

Решение.

Если умножить второе уравнение на b и из полученного уравнения вычесть первое уравнение системы, то будем иметь

Если же умножить на b первое уравнение и из полученного уравнения вычесть второе уравнение системы, то

Таким образом, исходная система равносильна системе

При любом система всегда имеет единственное решение. Если же, то система будет иметь решения уравнения

Рассматривая его как квадратное относительно параметра с, приходим к выводу, что оно будет иметь хотя бы одно решение, если и, т.е. если.

При приходим к рассмотрению уравнения

В данном случае решая неравенство, где, находим, что.

Ответ: .

Задание №4. При каких значениях параметра а система имеет четыре решения?

Решение.

Полагая, перепишем систему в виде

Заметим, теперь что если пара является решением системы, то и пара - также решение этой системы. Следовательно, если - решение системы такое, что и, то система будет иметь восемь решений.

Таким образом, исходная система будет иметь четыре решения в следующих двух случаях: , или.

А тогда, если; то. Если же или, то.

Ответ: , .

Задание №5. а , при каждом из которых система имеет единственное решение.

Решение.

Преобразуем исходную систему:

Уравнение задает пару пересекающихся прямых и.

задает части этих прямых, расположенные правее прямой, т.е. лучи DB и CE (без точек B и С ), см. рис.

Уравнение задает прямую m с угловым коэффициентом a , проходящую через точку. Следует найти все значения а , при каждом из которых прямая m имеет единственную общую точку с объединением лучей BD и СЕ .

а) Прямая АB m не пересечет ни луч BD , ни луч СЕ .

б) Прямая АС задается уравнением. Поэтому при прямая m пересечет луч BD , но не пересечет луч СЕ .

в) При прямая m пресечет и луч BD , и луч СЕ .

г) Наконец, при прямая m пересечет только луч СЕ , а при она не пересечет ни луч BD , ни луч СЕ .

Ответ: , .

Задание №6. Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений имеет ровно два решения.

Решение.

Заменим первое уравнение разностью, а второе - суммой исходных уравнений:

При второе уравнение системы, а, значит, и вся система решений не имеет. При получаем:

Ясно (см. рисунок), что при система имеет четыре решения (координаты точек A , B , C и D ), а при - два решения (координаты точек M и N ).

Ответ: .

Заключение

У подрастающего поколения название царицы всех наук на устах. Кому-то вплоть до высшей ступени образования она не дается. Но все в обязательном порядке сдают ЕГЭ по этому предмету. А ЕГЭ по математике не такой уж легкий. Поэтому те, кому остался год или меньше, или больше уже начинают подготовку. И это подтверждает то, что выбранная мной тема исследовательской работы актуальна.

В моей исследовательской работе все фигуры неотрывно связано с планиметрией, но чтобы понять эту науку, нужно знать и о стереометрии. В ходе выполнения работы я узнала важные понятия, формулы к решению задач с определенными фигурами: шар, конус, цилиндр. В решении задач мне помогли такие приемы и методы как: умение выполнять действия с геометрическими фигурами; решение планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей); решение простейших стереометрических задач на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); изображение пространственных фигур; сечения куба, призмы, пирамиды; площадь треугольника, круга, площадь поверхности конуса, цилиндра; объем цилиндра, конуса, шара. Выбранные мной задачи решались с помощью понятий о той или иной фигуре и формул, что подтверждает мою гипотезу.

Подобные документы

Стандартные методы решений уравнений и неравенств. Алгоритм решения уравнения с параметром. Область определения уравнения. Решение неравенств с параметрами. Влияние параметра на результат. Допустимые значения переменной. Точки пересечения графиков.

контрольная работа , добавлен 15.12.2011


Знакомство с уравнениями и их параметрами. Решение уравнений первой степени с одним неизвестным, определение множества допустимых значений неизвестного. Понятие модуля числа, решение линейных уравнений с модулем и квадратных уравнений с параметром.

контрольная работа , добавлен 09.03.2011


Способы решения системы уравнений с двумя переменными. Прямая как график линейного уравнения. Использование способов подстановки и сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

реферат , добавлен 10.11.2009


Определение понятия уравнения с параметрами. Принцип решения данных уравнений при общих случаях. Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями. Девять примеров решения уравнений.

реферат , добавлен 09.02.2009


Приближенные числа и действия над ними. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Интерполирование и экстраполирование функций. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Отделение корня уравнения. Поиск погрешности результата.

контрольная работа , добавлен 18.10.2012


Приближенные значения корней. Метод дихотомии (или деление отрезка пополам), простой итерации и Ньютона. Метод деления отрезка пополам для решения уравнения. Исследование сходимости метода Ньютона. Построение нескольких последовательных приближений.

лабораторная работа , добавлен 15.07.2009


Основные определения. Алгоритм решения. Неравенства с параметрами. Основные определения. Алгоритм решения. Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа.

курсовая работа , добавлен 11.12.2002


Поиск базисного решения для системы уравнений, составление уравнения линии, приведение его к каноническому виду и построение кривой. Собственные значения и векторы линейного преобразования. Вычисление объема тела и вероятности наступления события.

контрольная работа , добавлен 12.11.2012


Методы решений иррациональных уравнений. Метод замены переменных. Линейные комбинации двух и более радикалов. Уравнение с одним радикалом. Умножение на сопряженное выражение. Метод решения уравнений путем выделения полных квадратов под знаком радикала.

контрольная работа , добавлен 15.02.2016


Численное решение уравнения методом Эйлера и Рунге-Кутта в Excel. Программа на языке Turbo Pascal. Блок-схема алгоритма. Метод Рунге-Кутта для дифференциального уравнения второго порядка. Модель типа "хищник-жертва" с учетом внутривидового взаимодействия.

Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами.

Пример: ax+b=c.

В этом уравнении х – неизвестное, a, b,c – коэффициенты, которые могут принимать различные числовые значения. Заданные таким образом коэффициенты называются параметрами .

Одно уравнение с параметрами задает множество уравнений (для всех возможных значений параметров).

Пример: –5х +10=– 1;

x +4y= 0;

–102–1000y= ; и т. д.

это все уравнения, которые задает уравнение с параметрами ax+b=c.

Решить уравнение с параметрами – это значит:

1. Указать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.

2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение определяет корень уравнения.

Обратимся к уже приведенному уравнению с параметрами ax+b=c и решим его.

Если а ¹0, то https://pandia.ru/text/80/014/images/image002_67.gif" width="63" height="41">;

при а=0 и b=c, х – любое действительное число;

при а=0 и b ¹ c, уравнение корней не имеет.

В процессе решения этого уравнения мы выделили значение параметра а=0 , при котором происходит качественное изменение уравнения, такое значение параметра мы в дальнейшем будем называть «контрольным». В зависимости от того, какое уравнение мы имеем, «контрольные» значения параметра находятся по-разному. Рассмотрим различные типы уравнений и укажем способ нахождения «контрольных»значений параметра.

I. Линейные уравнения с параметром и уравнения, приводимые к линейным

В таких уравнениях «контрольными» значениями параметров, как правило, являются значения, обращающие в нуль коэффициенты при х .

Пример 1. : 2а (а –2)х=а– 2

1. «Контрольными» значениями являются значения, удовлетворяющие условию:

2а (а –2)=0

решим это уравнение относительно переменной а .

2а= 0 или а –2= 0, откуда а= 0, а= 2.

2. Решим первоначальное уравнение при «контрольных» значениях параметра.

При а= 0 имеем 0×х=– 2, но это не имеет место ни при каких действительных значениях х , то есть в этом случае уравнение корней не имеет.

При а= 2 имеем 0×х= 0, это справедливо при любом значении х , значит, корнем уравнения является любое действительное число х .

3. Решим первоначальное уравнение, в случае, когда а ¹ 0 и а ¹ 2, тогда 2а (а –2)¹ 0 и обе части уравнения можно поделить на 2а (а –2), получим:

Так как а ¹ 2, то дробь можно сократить на (а –2), тогда имеем .

Ответ: при а= 0, корней нет;

при а= 2, корень – любое действительное число;

при а ¹ 0, а ¹ 2, .

Можно представить алгоритм решения такого типа уравнений.

1. Определить «контрольные» значения параметра.

2. Решить уравнение относительно х , при контрольных значениях параметра.

3. Решить уравнение относительно х , при значениях, отличных от «контрольных».

4. Записать ответ в виде:

Ответ: 1) при значениях параметра... , уравнение имеет корни... ;

2) при значениях параметра... , уравнение имеет корни... ;

3) при значениях параметра... , уравнение корней не имеет.

Пример 2. Решить уравнение с параметром

(а 2–2а +1)х=а 2+2а– 3

1. Найдем контрольные значения параметра

а 2–2а +1=0 Û (а –1)2=0 Û а =1

2. Решим уравнение при а= 1

0×х= (1+2×1–3) Û 0×х= 0 Þ х – любое действительное число.

3. Решим уравнение при а ¹ 1

а 2–2а +1¹ 0 Þ https://pandia.ru/text/80/014/images/image006_39.gif" width="115" height="45 src=">

так как а ¹ 1, дробь можно сократить

https://pandia.ru/text/80/014/images/image007_35.gif" width="64" height="41 src=">.

Пример 3. Решить уравнение с параметром

https://pandia.ru/text/80/014/images/image009_29.gif" width="72" height="41 src=">.

4. Ответ: 1) при а= 2, корней нет;

2) при а ¹ 0, а ¹ 2, ;

3) при а= 0 уравнение не имеет смысла.

Пример 4. Решить уравнение с параметром

https://pandia.ru/text/80/014/images/image011_28.gif" width="135" height="45 src=">

https://pandia.ru/text/80/014/images/image013_25.gif" width="175" height="45 src=">

так как х ¹ 0 и а ¹ – 2, уравнение равносильно уравнению

(а +3)х= 2а –1

найдем контрольные значения параметра

а +3= 0 Þ а=– 3.

2. Решим уравнение при а=– 3.

0×х=– 7

при любом х равенство места не имеет

3. Решим уравнение при а ¹ – 3, а+ 3¹ 0.

https://pandia.ru/text/80/014/images/image015_21.gif" width="69" height="41 src="> Û ,

поэтому, чтобы уравнение имело смысл https://pandia.ru/text/80/014/images/image016_21.gif" width="40" height="41 src=">, корней нет;

2) при а ¹ – 2, а ¹ – 3, , .

II. Квадратные уравнения с параметром и уравнения, приводимые к квадратным

В таких уравнениях в качестве «контрольных» берут обычно значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х 2, так как в этом случае уравнение становится линейным, а также значение параметра, обращающие в нуль дискриминант уравнения, так как от значения дискриминанта зависит число действительных корней квадратного уравнения.

Пример 5. Решить уравнение с параметром

(а –1)х 2+2(2а +1)х +(4а +3)= 0

1. Найдем значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х

а– 1=0 Û а= 1

2. Решим уравнение при а= 1

0×х 2+2(2×1+1)х +4×1+3=0 Û 6х +7=0 Û .

3. Найдем значения параметра, обращающие в нуль дискриминант уравнения

D =(2(2а +1))2–4(а –1)(4а +3)=(4а +1)2–(4а –4)(4а +3)=4(5а +4)

4(5а +4)=0 Û .

4. Решим уравнение при , в этом случае уравнение будет иметь один действительный корень

https://pandia.ru/text/80/014/images/image021_15.gif" width="133" height="41"> Û

9х 2+6х +1=0 Û (3х +1)2=0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image023_15.gif" width="51" height="41 src=">. В этом случае D <0, поэтому уравнение действительных корней не имеет.

6. Решим уравнение при а ¹1, https://pandia.ru/text/80/014/images/image025_12.gif" width="341" height="49 src=">

7. Ответ: 1) при https://pandia.ru/text/80/014/images/image022_14.gif" width="51" height="41 src=">;

2) при а= 1, ;

3) при , действительных корней нет;

4) при и а ¹1, https://pandia.ru/text/80/014/images/image027_10.gif" width="144" height="44 src=">

1. Так как а стоит в знаменателе дроби, то уравнение имеет смысл только при а ¹0. В знаменателе стоят и выражения а2х– 2а и 2–ах , которые тоже должны быть отличны от нуля

а2х– 2а ¹0 Û а (ах –2)¹0 Û а ¹0, ах –2¹0 Û а ¹0, ;

2–ах ¹0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image028_9.gif" width="41" height="41 src=">.

2. Решим уравнение при а ¹0, https://pandia.ru/text/80/014/images/image029_9.gif" width="169" height="47 src="> Û Û

(1–а )х 2+2х +1+а =0 ...................(*)

3. Найдем значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х 2

1–а =0 Û а =1

4. Решим уравнение (*) при а =1

0×х 2+2х +2=0 Û 2х=– 2 Û х= –1

сразу проверим, не совпадает ли х с https://pandia.ru/text/80/014/images/image032_8.gif" width="72" height="41 src=">, значит, при а =1, х=– 1.

Решим систему уравнений с параметром (А. Ларин, вариант 98)

Найдите все значения параметра , при каждом из которых система

имеет ровно одно решение.

Посмотрим внимательно на систему. В первом уравнении системы слева стоит , а правая часть не зависит от параметра. То есть мы можем рассматривать это уравнение как уравнение функции

и можем построить график этой функции.

Второе уравнение системы

зависит от параметра, и, выделив в левой части уравнения полный квадрат, мы получим уравнение окружности.

Так что имеет смысл построить графики каждого уравнения, и посмотреть, при каком значении параметра эти графики имеют одну точку пересечения.

Начнем с первого уравнения. Для начала раскроем модули. Для этого приравняем каждое подмодульное выражение к нулю, чтобы найти точки, в которых происходит смена знака.

Первое подмодульное выражение меняет знак при , второе - при .

Нанесем эти точки на координатную прямую, и найдем знаки каждого подмодульного выражения на каждом промежутке:

Заметим, что при и уравнение не имеет смысла, поэтому эти точки выкалываем.

Теперь раскроем модули на каждом промежутке. (Вспомним: если подмодульное выражение больше или равно нулю, то мы раскрываем модуль с тем же знаком, а если меньше нуля, то с противоположным.)

Оба подмодульных выражения отрицательны, следовательно, оба модуля раскрываем с противоположным знаком:

То есть при исходная функция имеет вид

На этом промежутке первое подмодульное выражение отрицательно, а второе положительно, следовательно получаем:

- на этом промежутке функция не существует.

3. title="x>2">

На этом промежутке оба подмодульных выражения положительны, раскрываем оба модуля с тем же знаком. Получаем:

То есть при title="x>2"> исходная функция имеет вид

Итак, мы получили график функции

Теперь займемся вторым уравнением:

Выделим в левой чаcти уравнения полный квадрат, для этого прибавим к обеим частям уравнения число 4:

При конкретном значении параметра график этого уравнения представляет собой окружность с центром в точке с координатами , радиус которой равен 5. При различных значениях мы имеем серию окружностей:

Будем двигать окружность снизу вверх до тех пор, пока она не коснется левой части графика первой функции. На рисунке эта окружность красного цвета. Центр этой окружности - точка , ее координаты (-2;-3). Дальше при движении вверх окружность имеет одну точку пересечения с левой частью графика функции, то есть система имеет единственное решение.

Продолжаем двигать окружность вверх пока она не коснется правой части графика первой функции. Это произойдет когда центр окружности будет в точке с координатами (-2;0) - на рисунке эта окружность синего цвета.

При движении дальше вверх окружность будет пересекать и левую, и правую части графика первой функции, то есть окружность будет иметь две точки пересечения с графиком первой функции, а система будет иметь два решения. Это ситуация продолжается до тех пор, пока центр окружности не окажется в точке с координатами (-2; 5) - эта окружность зеленого цвета. В этой точке окружность касается левой части графика и пересекает правую. То есть система имеет одно решение.

Итак, система имеет единственное решение при (-3;0]}