Уравнение нелинейной регрессии. Использование численных методов при решении инженерных задач Корреляционный анализ в Excel

Назначение сервиса . С помощью данного онлайн-калькулятора можно найти параметры уравнения нелинейной регрессии (экспоненциальной, степенной, равносторонней гиперболы, логарифмической, показательной) (см. пример).

Инструкция . Укажите количество исходных данных. Полученное решение сохраняется в файле Word . Также автоматически создается шаблон решения в Excel . Примечание : если необходимо определить параметры параболической зависимости (y = ax 2 + bx + c), то можно воспользоваться сервисом Аналитическое выравнивание .
Ограничить однородную совокупность единиц, устранив аномальные объекты наблюдения можно через метод Ирвина или по правилу трех сигм (устранить те единицы, для которых значение объясняющего фактора отклоняется от среднего более, чем на утроенное среднеквадратичное отклонение).

Виды нелинейной регрессии

Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение), отражающая влияние всех неучтенных факторов.

Уравнению регрессии первого порядка - это уравнение парной линейной регрессии .

Уравнение регрессии второго порядка это полиномальное уравнение регрессии второго порядка: y = a + bx + cx 2 .

Уравнение регрессии третьего порядка соответственно полиномальное уравнение регрессии третьего порядка: y = a + bx + cx 2 + dx 3 .

Чтобы привести нелинейные зависимости к линейной используют методы линеаризации (см. метод выравнивания):

1. Замена переменных.
2. Логарифмирование обеих частей уравнения.
3. Комбинированный.

y = f(x)	Преобразование	Метод линеаризации
y = b x a	Y = ln(y); X = ln(x)	Логарифмирование
y = b e ax	Y = ln(y); X = x	Комбинированный
y = 1/(ax+b)	Y = 1/y; X = x	Замена переменных
y = x/(ax+b)	Y = x/y; X = x	Замена переменных. Пример
y = aln(x)+b	Y = y; X = ln(x)	Комбинированный
y = a + bx + cx 2	x 1 = x; x 2 = x 2	Замена переменных
y = a + bx + cx 2 + dx 3	x 1 = x; x 2 = x 2 ; x 3 = x 3	Замена переменных
y = a + b/x	x 1 = 1/x	Замена переменных
y = a + sqrt(x)b	x 1 = sqrt(x)	Замена переменных

Пример . По данным, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
2. Рассчитать параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.
3. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
5. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
6. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование.
7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 15% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α=0,05 .
8. Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

Год	Фактическое конечное потребление домашних хозяйств (в текущих ценах), млрд. руб. (1995 г. - трлн. руб.), y	Среднедушевые денежные доходы населения (в месяц), руб. (1995 г. - тыс. руб.), х
1995	872	515,9
2000	3813	2281,1
2001	5014	3062
2002	6400	3947,2
2003	7708	5170,4
2004	9848	6410,3
2005	12455	8111,9
2006	15284	10196
2007	18928	12602,7
2008	23695	14940,6
2009	25151	16856,9

Решение. В калькуляторе последовательно выбираем виды нелинейной регрессии . Получим таблицу следующего вида.
Экспоненциальное уравнение регрессии имеет вид y = a e bx
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + bx
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.000162, a = 7.8132
Уравнение регрессии: y = e 7.81321500 e 0.000162x = 2473.06858e 0.000162x

Степенное уравнение регрессии имеет вид y = a x b
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + b ln(x)
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.9626, a = 0.7714
Уравнение регрессии: y = e 0.77143204 x 0.9626 = 2.16286x 0.9626

Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид y = b/x + a + ε
После линеаризации получим: y=bx + a
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 21089190.1984, a = 4585.5706
Эмпирическое уравнение регрессии: y = 21089190.1984 / x + 4585.5706

Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = b ln(x) + a + ε
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 7142.4505, a = -49694.9535
Уравнение регрессии: y = 7142.4505 ln(x) - 49694.9535

Показательное уравнение регрессии имеет вид y = a b x + ε
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + x ln(b)
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.000162, a = 7.8132
y = e 7.8132 *e 0.000162x = 2473.06858*1.00016 x

x	y	1/x	ln(x)	ln(y)
515.9	872	0.00194	6.25	6.77
2281.1	3813	0.000438	7.73	8.25
3062	5014	0.000327	8.03	8.52
3947.2	6400	0.000253	8.28	8.76
5170.4	7708	0.000193	8.55	8.95
6410.3	9848	0.000156	8.77	9.2
8111.9	12455	0.000123	9	9.43
10196	15284	9.8E-5	9.23	9.63
12602.7	18928	7.9E-5	9.44	9.85
14940.6	23695	6.7E-5	9.61	10.07
16856.9	25151	5.9E-5	9.73	10.13

Лабораторная работа

Прогнозирование экономических процессов
с помощью табличного процессора Excel.

Требования к содержанию, оформлению и порядку выполнения

Для выполнения лабораторной работы необходимо создать новую рабочую книгу Excel под именем «Ваша фамилия, Лабораторная работа №1, Вариант №_» (например: «Иванов И.П. Лабораторная работа №1»Вариант №4).

Перед выполнением лабораторной работы изучите теоретическую часть и методику выполнения заданий.

Задания необходимо выполнить и оформить согласно своему варианту . Рабочие листы рабочей книги должны быть именованы Задание1, Задание2. Результаты выполнения заданий занести в файл отчета.

Варианты лабораторной работы распределяются согласно номеру № в списке группы см. таблицу

№

Вар.

№

Вар.

№

Вар.

№

Вар.

№

Вар.

№

Вар.

№

Вар.

После выполнения лабораторной работы ответьте на контрольные вопросы. Ответы на контрольные вопросы поместите в файл отчета. Свою рабочую книгу вместе с файлом отчета, необходимо предоставить преподавателю на дискете, подписав ее «Отчет по лабораторной работе №2 студента Иванова И.П., гр. 170404».

Теоретическая часть

Прогнозирование - это метод научного исследования, ставящей своей целью предусмотреть возможные варианты тех процессов и явлений, которые выбраны в качестве предмета анализа.

Задачами экономического прогнозирования являются: предвидение возможного распределения ресурсов по различным направлениям; опреде­ление нижних и верхних границ получаемых результатов; оценка макси­мально возможного количества ресурсов, необходимого для решения хо­зяйственных и научно-технических проблем и др.

В зависимости от периода времени, на которой составляется прогноз (периода упреждения), прогнозы бывает:

· краткосрочные;

· среднесрочные;

· долгосрочные;

· дальнесрочные.

Временная градация прогнозов является относительной и зависит от характера и цели данного прогноза.

Для выполнения краткосрочного прогноза чаще всего применяется метод экстраполяции.

Метод экстраполяции заключается в нахождении значений, лежащих за пределами данного статистического ряда: по известным значениям статистического ряда находятся другие значения, лежащие за пределами этого ряда.

При экстраполяции переносится выводы, сделанные при изучении тенденций развития явления в прошлом и настоящем, на будущее, т.е. в основе экстраполяции лежит предположение об определенной стабильности факторных признаков, влияющих на развитие данного явления.

Рис.1. Основные обозначения метода экстраполяции.

При экстраполяции (см. рис.1.) используется следующая терминология:

t 1 – глубина ретроспекции;

t 2 – момент прогнозирования;

t 3 – прогнозный горизонт;

t 2 – t 1 – интервал наблюдения (промежуток времени, на базе которого исследуется история развития объекта прогнозирования);

t 3 – t 2 – интервал упреждения (промежуток времени на который разрабатывается прогноз).

Чем более устойчивый характер носит прогнозируемые процессы и тенденции, тем дальше может быть отодвинут горизонт прогнозирования. Как показывает практика, интервал наблюдения должен быть в три и более раз длиннее интервала упреждения. Как правило, этот период – довольно короткий. Метод экстраполирования не работает при скачкообразных процессах.

Метод экстраполяции легко реализуется на персональном компьютере. Использование современных табличных процессоров, таких как MS Excel позволяет оперативно проводить прогнозирование экономических процессов с использованием экстраполяционного метода.

Для повышения точности прогноза, необходимо учитывать зависимость прогнозируемой величины Y, от внешних факторов Х. Совокупность изучаемых величин подвержена, как правило, воздействию случайных факторов. В связи с этим зависимость прогнозируемой величины Y, от внешних факторов Х чаще всего статистическая, или – корреляционная.

Статистической называется зависимость случайных величин, при которой каждому значению одной их них соответствует закон распределения другой, то есть изменение одной из величин влечет изменение распределения другой.

Корреляционной называется статистическая зависимость случайных величин, при которой изменение одной из величин влечет изменение среднего значения другой.

Мерой корреляционной зависимости двух случайных величин Х и Y служит коэффициент корреляции r, который является безразмерной величиной, и поэтому он не зависит от выбора единиц измерения изучаемых величин.

Свойства коэффициента корреляции:

1) Если две случайные величины Х и Y независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю, т.е. r=0.

2) Модуль коэффициента корреляции не превышает единицы, т.е. |r|£1, что эквивалентно двойному неравенству: -1£r£1.

3) Равенство коэффици­ента -1 или +1 показывает наличие функциональной (прямой) свя­зи. Знак «+» указывает на связь прямую (увеличение или уменьшение одного признака сопровождается аналогичным изменением другого признака), знак «-» - на связь обратную (увеличение или уменьшение одного признака сопро­вождается противоположным по направлению изменением другого признака).

После определения наиболее существенных факторных признаков влияющих прогнозируемую величину, не менее важно установить их математическое описание (уравнение), дающее возможность численно оценивать результативный показатель через факторные признаки.

Уравнение, выражающее изменение средней величины результативного показателя в зависимости от значений факторных признаков, называется уравнение регрессии .

Линии на координатной плоскости, соответствующие уравнениям регрессии называются линиями регрессии .

Корреляционные зависимости могут выражаться уравнениями регрессии различных видов: линейной, параболической, гиперболической, показательной и т.д.

Линейная регрессия

Уравнением линейной регрессии (выборочным) Y на Х называется зависимость от наблюдаемых значений величины Х , выраженная линейной функцией:

где величина r называется коэффициентом линейной регрессии Y на Х, b - константа.

Линейная аппроксимация хорошо описывает изменение величин, происходящее с постоянной скоростью.

Если коэффициент корреляции двух величин Х и Y равен r =±1, то эти величины связаны линейной зависимостью. Коэффициент корреляции служит мерой силы (тесноты) линейной зависимости измеряемых величин. На практике, если коэффициент корреляции двух величин Х и Y |r |>0.5, то считают, что есть основания предполагать наличие линейной зависимости между этими величинами. Однако ориентироваться при выборе типа линии регрессии (линейной или нелинейной) лучше по виду эмпирической зависимости величин Х и Y .

Параболическая и полиномиальная регрессии.

Параболической зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость, выраженная квадратичной функцией (параболой 2-ого порядка):

. (2)

Это уравнение называется уравнением параболической регрессии Y на Х . Параметры а , b , с называются коэффициентами параболической регрессии . Вычисление коэффициентов параболической регрессии всегда громоздко, поэтому для расчетов рекомендуется использовать компьютер.

Уравнение (2) параболической регрессии является частным случаем более общей регрессии, называемой полиномиальной. Полиномиальной зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость, выраженная полиномом n -ого порядка:

где числа а i (i =0,1,…, n ) называются коэффициентами полиномиальной регрессии .

Полиномиальная аппроксимация используется для описания величин, попеременно возрастающих и убывающих. Она полезна, например, для анализа большого набора данных о нестабильной величине.

Степенная регрессия.

Степенной зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость вида:

Это уравнение называется уравнением степенной регрессии Y на Х . Параметры а и b называются коэффициентами степенной регрессии .

Степенная аппроксимация полезна для описания монотонно возрастающей либо монотонно убывающей величины, например расстояния, пройденного разгоняющимся автомобилем. Использование степенной аппроксимации невозможно, если данные содержат нулевые или отрицательные значения.

Показательная регрессия.

Показательной (или экспоненциальной ) зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость вида:

Это уравнение называется уравнением показательной (или экспоненциальной ) регрессии Y на Х . Параметры а (или k ) и b называются коэффициентами показательной (или экспоненциальной ) регрессии .

Экспоненциальная аппроксимация полезна в том случае, если скорость изменения данных непрерывно возрастает. Однако для данных, которые содержат нулевые или отрицательные значения, этот вид приближения неприменим.

Логарифмическая регрессия.

Логарифмической зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость вида:

(6)

Это уравнение называется уравнением логарифмической регрессии Y на Х . Параметры а и b называются коэффициентами логарифмической регрессии .

Логарифмическая аппроксимация полезна для описания величины, которая вначале быстро растет или убывает, а затем постепенно стабилизируется. Логарифмическая аппроксимация использует как отрицательные, так и положительные величины.

Гиперболическая регрессия.

Гиперболической зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость вида:

Это уравнение называется уравнением гиперболической регрессии Y на Х . Параметры а и b называются коэффициентами гиперболической регрессии .

Качество построения уравнений регрессии характеризует средняя ошибка аппроксимации или относительная ошибка прогноза:

(8)

где Y э – эмпирическое значение прогнозируемого показателя; Y – расчетное значение прогнозируемого показателя.

Проведение регрессионного анализа можно разделить на три этапа: выбор формы зависимости (вида уравнения) на основе статистических данных, вычисление коэффициентов выбранного уравнения, оценка достоверности выбранного уравнения.

Использование табличного процессора позволяет легко выполнить все этапы регрессионного анализа.

Ещё один вид однофакторной регрессии – аппроксимация степенными полиномами вида:

Естественно желание получить как можно простую зависимость, ограничиваясь степенным полиномам второй степени, т.е. параболической зависимостью:
(5.5.2)

Вычислим частные производные по коэффициентам b 0 , b 1 и b 2 :

(5.5.3)

Приравнивая производные нулю получим нормальных систему уравнений:

(5.5.4)

Решая систему нормальных уравнений (5.5.2) для конкретного случая значений x i * , y i * ;
получим оптимальные значения b 0 , b 1 и b 2 . Для аппроксимации зависимостью (5.5.2) и тем более (5.5.1) не получены простые формулы для вычисления коэффициентов и как правило их вычисление производят по стандартным процедурам в матричном виде:

(5.5.5)

На рис.5.5.1 приведён типовой пример аппроксимации параболической зависимостью:

9 (5;9)

(1;1)

1

1 2 3 4 5 х

Рис.5.5.1. Координаты экспериментальных точек и аппроксимиру-

щая их параболическая зависимость

Пример 5.1. Провести аппроксимацию результатов эксперимента, приведённых в таблице 5.1.1, линейным уравнением регрессии
.

Таблица 5.1.1

Построим экспериментальные точки по координатам, указанным в таблице 5.1.1 на графике, представленном на рис.5.1.1.

у

9

4

1 2 3 4 5 х

По рис.5.1.1, на котором для предварительной оценки проведём прямую линию, сделаем заключение, что в расположении экспериментальных точек имеется явно выраженная нелинейность, но она не очень значительная и поэтому имеет смысл провести их аппроксимацию линейной зависимостью. Отметим, что для получения корректно-математического заключения требуется построить прямую линию методом наименьших квадратов.

До проведения регрессионного анализа целесообразно вычислить

коэффициент линейной корреляции между переменными х и у :

Существенность корреляционной связи определяется по критическому значению коэффициента линейной корреляции, вычисляемого по формуле:

Критическое значение критерия Стьюдента t крит находится по статистическим таблицам для рекомендуемого уровня значимости α=0.05 и для n -2 степеней свободы. Если вычисленное значение r xy не меньше критического значения r крит , то корреляционная связь между переменными x и y считается сушественной. Произведём вычисления:

Ввиду того, что
делаем заключение, что корреляционная связь между переменнымих и у является существенной и она может быть линейной.

Вычислим коэффициенты уравнения регрессии:

Таким образом, получили линейное уравнение регрессии:

По уравнению регрессии проведём прямую линию на рис.5.1.2.

у (5;9.8)

9

4

(0;-0.2) 1 2 3 4 5 х

Рис.5.1.2. Координаты экспериментальных точек и аппроксимиру-

щая их линейная зависимость

По уравнению регрессии вычислим значения функции по экспериментальным точкам таблицы 5.1.1 и разницу между экспериментальными и вычисленными значениями функции, которые представим в таблице 5.1.2.

Таблица 5.1.2

Вычислим среднюю квадратическую ошибку и её отношение к среднему значению:

По отношению стандартной ошибки к среднему значению получен неудовлетворительный результат, так как превышено рекомендуемое значение в 0.05.

Проведём оценку уровня значимости коэффициентов уравнения регрессии по критерию Стьюдента:

Из статистической таблицы для 3 степеней свободы выпишем строки с уровнем значимости -и значением критерия Стьюдента– t в таблицу 5.1.3.

Таблица 5.1.3

Уровень значимости коэффициентов уравнения регрессии:

Отметим, что по уровню значимости для коэффициента получен удовлетворительный результат, а для коэффициентанеудовлетворительный.

Проведём оценку качества полученного уравнения регрессии по показателям, вычисляемым на основе дисперсионного анализа:

Проверка:

Результат проверки – положительный, что свидетельствует о корректности проведённых вычислений.

Вычислим критерий Фишера:

при двух степенях свободы:

По статистическим таблицам находим критические значения критерия Фишера для двух рекомендуемых градаций уровня значимости:

Так как вычисленное значение критерия Фишера превосходит критическое дл уровня значимости 0,01, то будем считать, что уровень значимости по критерию Фишера меньше 0,01, что будем считать удовлетворительным.

Вычислим коэффициент множественной детерминации:

для двух степеней свободы

По статистической таблице для рекомендуемого уровня значимости 0,05и двух найденных степеней свободы находим критическое значение коэффициента множественной детерминации:

Так как вычисленное значение коэффициента множественной детерминации превышает критическое значение для уровня значимости
, то уровень значимости по коэффициенту множественной детерминации
и полученный результат поданному показателю будем считать удовлетворительным.

Таким образом, полученные расчётные параметры по отношению стандартной ошибки к среднему значению и уровню значимости по критерию Стьюдента являются неудовлетворительными, поэтому целесообразно для аппроксимации подобрать другую аппроксимирующую зависимость.

Пример 5.2. Аппроксимация экспериментального распределения случайных чисел математической зависимостью

Экспериментальное распределение случайных чисел, приведённое в таблице 5.1.1, при аппроксимации линейной зависимостью, не привело к удовлетворительному результату, в т.ч. по незначимости коэффициента уравнения регрессии при свободном члене, поэтому для улучшения качества аппроксимации попробуем её провести линейной зависимостью без свободного члена:

Вычислим значение коэффициента уравнения регрессии:

Таким образом, получили уравнение регрессии:

По полученному уравнению регрессии вычислим значения функции и разницу между экспериментальными и вычисленными значениями функции, которые представим в виде таблицы 5.2.1.

Таблица 5.2.1

x i

По уравнению регрессии
на рис.5.2.1 проведём прямую линию.

у (5;9. 73 )

(0;0) 1 2 3 4 5 х

Рис.5.2.1. Координаты экспериментальных точек и аппроксимиру-

ющая их линейная зависимость

Для оценки качества аппроксимации проведём вычисления показателей качества аналогично вычислениям, приведённым в примере 5.1.

(осталось старым);

с 4-мя степенями свободы;

для

По результатам проведённой аппроксимации отметим, что по уровню значимости коэффициента уравнения регрессии получен удовлетворительный результат; отношение стандартной ошибки к среднему значению улучшилось, но всё ещё осталось выше рекомендуемого значения 0.05, поэтому рекомендуется повторить аппроксимацию более сложной математической зависимостью.

Пример 5.3. Для улучшения качества аппроксимации примеров 5.1 и 5.2 проведём нелинейную аппроксимацию зависимостью
. Для этого первоначально произведём промежуточные вычисления и их результаты поместим в таблицу 5.3.1.

Значения

Таблица 5.3.1

X 2
(lnX ) 2
lnX·lnY

Дополнительно вычислим:

Произведём аппроксимацию зависимостью
. По формулам (5.3.7), (5.3.8) вычислим коэффициентыb 0 и b 1 :

По формулам (5.3.11) вычислим коэффициенты A 0 и A 1 :

Для вычисления стандартной ошибки проведены промежуточные вычисления, представленные в таблице 5.3.2.

Таблица 5.3.2

Y i	y i

Сумма: 7,5968

Стандартная ошибка аппроксимации получилась намного больше, чем в двух предыдущих примерах, поэтому результаты аппроксимации признаем непригодными.

Пример 5.4. Попробуем провести аппроксимацию ещё одной нелинейной зависимостью
. По формулам (5.3.9), (5.3.10) по данным таблицы 5.3.1 вычислим коэффициентыb 0 и b 1 :

Получили промежуточную зависимость:

По формулам (5.3.13) вычислим коэффициенты C 0 и C 1 :

Получили окончательную зависимость:

Для вычисления стандартной ошибки проведём промежуточные вычисления и поместим их в таблицу 5.4.1.

Таблица 5.4.1

Y i	y i

Сумма: 21,83152

Вычислим стандартную ошибку:

Стандартная ошибка аппроксимации получилась намного больше, чем в предыдущем примере, поэтому результаты аппроксимации признаем непригодными.

Пример 5.5. Аппроксимация экспериментального распределения случайных чисел математической зависимостью y = b · lnx

Исходные данные как и в предыдущих примерах приведены в таблице 5.4.1 и на рис.5.4.1.

Таблица 5.4.1

На основании анализа рис.5.4.1 и таблицы 5.4.1 отметим, что при меньших значениях аргумента (в начале таблицы) функция изменяется сильнее, чем при больших (в конце таблицы) поэтому представляется целесообразным изменить масштаб аргумента и ввести в уравнение регрессии логарифмическую функцию от него и провести аппроксимацию следующей математической зависимостью:

. По формуле (5.4.3) вычислим коэффициент b :

Для оценки качества аппроксимации проведём промежуточные вычисления, представленные в таблице 5.4.2, по которым вычислим величину ошибки и отношение стандартной ошибки к среднему значению.

Таблица 5.4.2

Так как по отношению стандартной ошибки к среднему значению превышено рекомендуемое значение 0,05, то результат будем считать неудовлетворительным. В частности, отметим, что наибольшее отклонение даёт значение х=1, так как при этом значении lnx =0. Поэтому проведём аппроксимацию зависимстью y = b 0 +b 1 ·lnx

Вспомогательные вычисления представим в виде таблицы 5.4.3.

Таблица 5.4.3

По формулам (5.4.6) и (5.4.7) вычислим коэффициенты b 0 и b 1 :

9 (5;9.12)

4

1 (1;0.93)

1 2 3 4 5 х

Для оценки качества аппроксимации проведём вспомогательные вычисления и определим уровень значимости найденных коэффициентов и отношение стандартной ошибки к среднему значению.

Уровень значимости чуть выше рекомендованного значения 0,05 (
).

Ввиду того, что по главному показателю – отношению стандартной ошибки к среднему значению получено почти двукратное превышение рекомендуемого уровня 0,05 результаты будем считать приемлемыми. Отметим, что вычисленное значение критерия Стьюдента t b 0 =2,922 отличается от критического
сравнительно на небольшую величину.

Пример 5.6. Проведём аппроксимацию экспериментальных данных примера 5.1 гиперболической зависимостью
. Для того, чтобы вычислить коэффициентовb 0 и b 1 проведём предварительные вычисления, приведённые в таблице 5.6.1.

Таблица 5.6.1

X i	x i =1/X i		x i 2	x i y i

По результатам таблицы 5.6.1 по формулам (5.4.8) и (5.4.9) вычислим коэффициенты b 0 и b 1 :

Таким образом, получено гиперболическое уравнение регрессии

.

Результаты вспомогательных вычислений для оценки качества аппроксимации приведены в таблице 5.6.2.

Таблица 5.6.2

X i

По результатам таблицы 5.6.2 вычислим стандартную ошибку и отношение стандартной ошибки к среднему значению:

Ввиду того, что отношение стандартной ошибки к среднему значению превышает рекомендуемое значение 0,05 делаем заключение о непригодности результатов аппроксимации.

Пример 5.7.

Для вычисления конкретных значений доходов от работы стреловых кранов в зависимости от времени проведения профилактических работ требуется получить параболическую зависимость .

Вычислим коэффициенты этой зависимости b 0 , b 1 , b 11 в матричном виде по формуле:

Нелинейные уравнения регрессии, связывающие результативный показатель с оптимальными значениями проведения профилактических работ башенных кранов, получены с помощью процедуры множественной регрессии пакета прикладных программ Statistica 6.0. Далее приведем результаты регрессионного анализа для результативного показателя эффективности по таблице 5.7.1.

Таблица 5.7.1

В таблице 5.7.2 приведены результаты нелинейной регрессии для результативного показателя эффективности и в таблице 5.7.3 результаты анализа остатков.

Таблица 5.7.2

Таблица 5.7.3

Рис. 3.7.36. Анализ остатков.

Таким образом, получили уравнение множественной регрессии для переменной
:

Отношение стандартной ошибки к среднему значению:

14780/1017890=0,0145 < 0,05.

Так как отношение стандартной ошибки к среднему значению не превышает рекомендуемого значения 0,05 то результаты аппроксимации можно считать приемлемыми. В качестве недостатка по таблице 5.7.2 следует отметить превышение рекомендуемого уровня значимости 0.05 всеми вычисленными коэффициентами.

В некоторых случаях эмпирические данные статистической совокупности, изображенные наглядно с помощью координатной диаграммы, показывают, что увеличение фактора сопровождаются опережающим ростом результата. Для теоретического описания такого рода корреляционной взаимосвязи признаков можно взять уравнение параболической регрессии второго порядка:

где , – параметр, показывающий среднее значение результативного признака при условии полной изоляции влияния фактора (х=0); – коэффициент пропорциональности изменения результата при условии абсолютного прироста признака-фактора на каждую его единицу; с – коэффициент ускорения (замедления) прироста результативного признака на каждую единицу фактора.

Положив в основу вычисления параметров , , с способ наименьших квадратов и приняв условно срединное значение ранжированного ряда за начальное, будем иметь Σх=0, Σх 3 =0. При этом система уравнений в упрощенном виде будет:

Из этих уравнений можно найти параметры , , с, которые в общем виде можно записать так:

(11.20)

(11.22)

Отсюда видно, что для определения параметров , , с необходимо рассчитать следующие значения: Σ у, Σ ху, Σ х 2 , Σ х 2 у, Σ х 4 . С этой целью можно воспользоваться макетом табл. 11.9.

Допустим, имеются данные об удельном весе посевов картофеля в структуре всех посевных площадей и урожае (валовом сборе) культуры в 30 сельскохозяйственных организациях. Необходимо составить и решить уравнение корреляционной взаимосвязи между этими показателями.

Т а б л и ц а 11.9. Расчет вспомогательных показателей для уравнения

Параболической регрессии

№ п.п.	х	у	ху	х 2	х 2 у	х 4
	х 1	у 1	х 1 у 1
	х 2	у 2	х 2 у 2
…	…	…	…	…	…	…
n	х n	у n	х n у n
Σ	Σх	Σу	Σху	Σх 2	Σх 2 у	Σх 4

Графическое изображение поля корреляции показало, что изучаемые показатели эмпирически связаны между собой линией, приближающейся к параболе второго порядка. Поэтому расчет необходимых параметров , , с в составе искомого уравнения параболической регрессии проведем с использованием макета табл. 11.10.

Т а б л и ц а 11.10. Расчет вспомогательных данных для уравнения

Параболической регрессии

№ п.п.	х, %	у, тыс.т	ху	х 2	х 2 у	х 4
	1,0	5,0	5,0	1,0	5,0	1,0
	1,5	7,0	10,5	2,3	15,8	5,0
…	…	…	…	…	…	…
n	8,0	20,0	160,0	64,0
Σ

Подставим конкретные значения Σ у=495, Σ ху=600, Σ х 2 =750, Σ х 2 у=12375, Σ х 4 =18750, имеющиеся в табл. 11.10, в формулы (11.20), (11.21), (11.22). Получим

Таким образом, уравнение параболической регрессии, выражающие влияние удельного веса посевов картофеля в структуре посевных площадей на урожай (валовой сбор) культуры в сельскохозяйственных организациях, имеет следующий вид:

(11.23)

Уравнение 11.23 показывает, что в условиях заданной выборочной совокупности средний урожай (валовой сбор) картофеля (10 тыс. ц) может быть получен без влияния изучаемого фактора – повышения удельного веса посевов культуры в структуре посевных площадей, т.е. при таком условии, когда колебания удельного веса посевов не будут оказывать воздействие на размер урожая картофеля (х=0). Параметр (коэффициент пропорциональности) в=0,8 показывает, что каждый процент повышения удельного веса посевов обеспечивает прирост урожая в среднем на 0,8 тыс. т, а параметр с=0,1 свидетельствует о том, что на один процент (в квадрате) ускоряется приращение урожая в среднем на 0,1 тыс. т картофеля.

Линейная регрессия

Уравнение линейной регрессии представляет собой уравнение прямой, аппроксимирующей (приблизительно описывающей) зависимость между случайными величинами X и Y.

Рассмотрим случайную двумерную величину (X, Y), где -- зависимые случайные величины. Представим одну из величин как функцию другой. Ограничимся приближенным представлением величины в виде линейной функции величины X:

где -- параметры, подлежащие определению. Это можно сделать различными способами: наиболее употребительный из них -- метод наименьших квадратов. Функцию g(x) называют среднеквадратической регрессией Y на X. Функцию g(x) называют среднеквадратической регрессией Y на X.

где F -- суммарное квадратичное отклонение.

Подберем a и b так, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной. Для того, чтобы найти коэффициенты a и b, при которых F достигает минимального значения, приравняем частные производные к нулю:

Находим a и b. Выполнив элементарные преобразования, получим систему двух линейных уравнений относительно a и b:

где -- объём выборки.

В нашем случае A = 3888; B =549; C =8224; D = 1182;N = 100.

Найдём a и b из этой линейной. Получим стационарную точку для где 1,9884; 0,8981.

Следовательно, уравнение примет вид:

y = 1,9884x + 0,8981

Рис. 10

Параболическая регрессия

Найдем по данным наблюдений выборочное уравнение кривой линии среднеквадратичной (параболической в нашем случае) регрессии. Воспользуемся методом наименьших квадратов для определения p, q, r.

Ограничимся представлением величины Y в виде параболической функции величины X:

где p, q, и r -- параметры, подлежащие определению. Это можно сделать с помощью метода наименьших квадратов.

Подберем параметры p, q и r так, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной. Так как каждое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений есть функция F этих параметров:

Для отыскания минимума приравняем к нулю соответствующие частные производные:

Находим p, q и r. Выполнив элементарные преобразования, получим систему трех линейных уравнений относительно p, q и r:

Решая эту систему методом обратной матрицы, получим: p = -0,0085; q = 2,0761;

Следовательно, уравнение параболической регрессии примет вид:

y = -0,0085x 2 + 2,0761x + 0,7462

Построим график параболической регрессии. Для удобства наблюдения график регрессии будет на фоне диаграммы рассеивания (см. рисунок 13).

Рис. 13

Теперь изобразим линии линейной регрессии и параболической регрессии на одной диаграмме, для наглядного сравнения (см. рисунок 14).

Рис. 14

Линейная регрессия изображена красным цветом, а параболическая -- синим. По диаграмме видно, что отличие в данном случае больше, чем при сравнении двух линий линейных регрессий. Требуется дальнейшее исследование, какая же регрессия лучше выражает зависимость между x и y, т. е. какой тип зависимости между x и y.