Частные производные первого и второго порядка решение. Частные производные. Задачи с тригонометрической функция и функцией с тремя переменными

Рассмотрим функцию от двух переменных:

Поскольку переменные $x$ и $y$ являются независимыми, для такой функции можно ввести понятие частной производной:

Частная производная функции $f$ в точке $M=\left({{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ по переменной $x$ — это предел

\[{{{f}"}_{x}}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left({{x}_{0}}+\Delta x;{{y}_{0}} \right)}{\Delta x}\]

Аналогично можно определить частную производную по переменной $y$ :

\[{{{f}"}_{y}}=\underset{\Delta y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left({{x}_{0}};{{y}_{0}}+\Delta y \right)}{\Delta y}\]

Другими словами, чтобы найти частную производную функции нескольких переменных, нужно зафиксировать все остальные переменные, кроме искомой, а затем найти обычную производную по этой искомой переменной.

Отсюда вытекает основной приём для вычисления таких производных: просто считайте, что все переменные, кроме данной, являются константой, после чего дифференцируйте функцию так, как дифференцировали бы «обычную» — с одной переменной. Например:

$\begin{align}& {{\left({{x}^{2}}+10xy \right)}_{x}}^{\prime }={{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}_{x}+10y\cdot {{\left(x \right)}^{\prime }}_{x}=2x+10y, \\& {{\left({{x}^{2}}+10xy \right)}_{y}}^{\prime }={{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}_{y}+10x\cdot {{\left(y \right)}^{\prime }}_{y}=0+10x=10x. \\\end{align}$

Очевидно, что частные производные по разным переменным дают разные ответы — это нормально. Куда важнее понимать, почему, скажем, в первом случае мы спокойно вынесли $10y$ из-под знака производной, а во втором — вовсе обнулили первое слагаемое. Всё это происходит из-за того, что все буквы, кроме переменной, по которой идёт дифференцирование, считаются константами: их можно выносить, «сжигать» и т.д.

Что такое «частная производная»?

Сегодня мы поговорим о функциях нескольких переменных и о частных производных от них. Во-первых, что такое функция нескольких переменных? До сих пор мы привыкли считать функцию как $y\left(x \right)$ или $t\left(x \right)$, или любую переменную и одну-единственную функцию от нее. Теперь же функция у нас будет одна, а переменных несколько. При изменении $y$ и $x$ значение функции будет меняться. Например, если $x$ увеличится в два раза, значение функции поменяется, при этом если $x$ поменяется, а $y$ не изменится, значение функции точно так же изменится.

Разумеется, функцию от нескольких переменных, точно так же как и от одной переменной, можно дифференцировать. Однако поскольку переменных несколько, то и дифференцировать можно по разным переменным. При этом возникают специфические правила, которых не было при дифференцировании одной переменной.

Прежде всего, когда мы считаем производную функции от какой-либо переменной, то обязаны указывать, по какой именно переменной мы считаем производную — это и называется частной производной. Например, у нас функция от двух переменных, и мы можем посчитать ее как по $x$, так и по $y$ — две частных производных у каждой из переменных.

Во-вторых, как только мы зафиксировали одну из переменных и начинаем считать частную производную именно по ней, то все остальные, входящие в эту функцию, считаются константами. Например, в $z\left(xy \right)$, если мы считаем частную производную по $x$, то везде, где мы встречаем $y$, мы считаем ее константой и обращаемся с ней именно как с константой. В частности при вычислении производной произведения мы можем выносить $y$ за скобку (у нас же константа), а при вычислении производной суммы, если у нас где-то получается производная от выражения, содержащего $y$ и не содержащего $x$, то производная этого выражения будет равна «нулю» как производная константы.

На первый взгляд может показаться, что я рассказываю о чем-то сложном, и многие ученики по началу путаются. Однако ничего сверхъестественного в частных производных нет, и сейчас мы убедимся в этом на примере конкретных задач.

Задачи с радикалами и многочленами

Задача № 1

Чтобы не терять время зря, с самого начала начнем с серьезных примеров.

Для начала напомню такую формулу:

Это стандартное табличное значение, которое мы знаем из стандартного курса.

В этом случае производная $z$ считается следующим образом:

\[{{{z}"}_{x}}={{\left(\sqrt{\frac{y}{x}} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}{{\left(\frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{x}\]

Давайте еще раз, поскольку под корнем стоит не $x$, а некое другое выражение, в данном случае $\frac{y}{x}$, то сначала мы воспользуемся стандартным табличным значением, а затем, поскольку под корнем стоит не $x$, а другое выражение, нам необходимо домножить нашу производную на еще одну из этого выражения по той же самой переменной. Давайте для начала посчитаем следующее:

\[{{\left(\frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{{{{{y}"}}_{x}}\cdot x-y\cdot {{{{x}"}}_{x}}}{{{x}^{2}}}=\frac{0\cdot x-y\cdot 1}{{{x}^{2}}}=-\frac{y}{{{x}^{2}}}\]

Возвращаемся к нашему выражению и записываем:

\[{{{z}"}_{x}}={{\left(\sqrt{\frac{y}{x}} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}{{\left(\frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot \left(-\frac{y}{{{x}^{2}}} \right)\]

В принципе, это все. Однако оставлять ее в таком виде неправильно: такую конструкцию неудобно использовать для дальнейших вычислений, поэтому давайте ее немного преобразуем:

\[\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot \left(-\frac{y}{{{x}^{2}}} \right)=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{x}{y}}\cdot \frac{y}{{{x}^{2}}}=\]

\[=-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{x}{y}}\cdot \sqrt{\frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{4}}}}=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x\cdot {{y}^{2}}}{y\cdot {{x}^{4}}}}=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{{{x}^{3}}}}\]

Ответ найден. Теперь займемся $y$:

\[{{{z}"}_{y}}={{\left(\sqrt{\frac{y}{x}} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot {{\left(\frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{y}\]

Выпишем отдельно:

\[{{\left(\frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{{{{{y}"}}_{y}}\cdot x-y\cdot {{{{x}"}}_{y}}}{{{x}^{2}}}=\frac{1\cdot x-y\cdot 0}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{x}\]

Теперь записываем:

\[{{{z}"}_{y}}={{\left(\sqrt{\frac{y}{x}} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot {{\left(\frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot \frac{1}{x}=\]

\[=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{x}{y}}\cdot \sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{y\cdot {{x}^{2}}}}=\frac{1}{2\sqrt{xy}}\]

Все сделано.

Задача № 2

Этот пример одновременно и проще, и сложней, чем предыдущий. Сложнее, потому что здесь больше действий, а проще, потому что здесь нет корня и, кроме того, функция симметрична относительно $x$ и $y$, т.е. если мы поменяем $x$ и $y$ местами, формула от этого не изменится. Это замечание в дальнейшем упростит нам вычисление частной производной, т.е. достаточно посчитать одну из них, а во второй просто поменять местами $x$ и $y$.

Приступаем к делу:

\[{{{z}"}_{x}}={{\left(\frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{{{\left(xy \right)}^{\prime }}_{x}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)-xy{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}_{x}}{{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\]

Давайте посчитаем:

\[{{\left(xy \right)}^{\prime }}_{x}=y\cdot {{\left(x \right)}^{\prime }}=y\cdot 1=y\]

Однако многим ученикам такая запись непонятна, поэтому запишем вот так:

\[{{\left(xy \right)}^{\prime }}_{x}={{\left(x \right)}^{\prime }}_{x}\cdot y+x\cdot {{\left(y \right)}^{\prime }}_{x}=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Таким образом, мы еще раз убеждаемся в универсальности алгоритма частных производных: каким бы мы образом их не считали, если все правила применяются верно, ответ будет один и тот же.

Теперь давайте разберемся еще с одной частной производной из нашей большой формулы:

\[{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}_{x}={{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}_{x}+{{\left({{y}^{2}} \right)}^{\prime }}_{x}+{{{1}"}_{x}}=2x+0+0\]

Подставим полученные выражения в нашу формулу и получим:

\[\frac{{{\left(xy \right)}^{\prime }}_{x}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)-xy{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}_{x}}{{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\]

\[=\frac{y\cdot \left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)-xy\cdot 2x}{{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\]

\[=\frac{y\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1-2{{x}^{2}} \right)}{{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\frac{y\left({{y}^{2}}-{{x}^{2}}+1 \right)}{{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\]

По $x$ посчитано. А чтобы посчитать $y$ от того же самого выражения, давайте не будем выполнять всю ту же последовательность действий, а воспользуемся симметрией нашего исходного выражения — мы просто заменим в нашем исходном выражении все $y$ на $x$ и наоборот:

\[{{{z}"}_{y}}=\frac{x\left({{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1 \right)}{{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\]

За счет симметрии мы посчитали это выражение гораздо быстрее.

Нюансы решения

Для частных производных работают все стандартные формулы, которые мы используем для обычных, а именно, производная частного. При этом, однако, возникают свои специфические особенности: если мы считаем частную производную $x$, то когда мы получаем ее по $x$, то рассматриваем ее как константу, и поэтому ее производная будет равна «нулю».

Как и в случае с обычными производными, частную (одну и ту же) можно посчитать несколькими различными способами. Например, ту же конструкцию, которую мы только что посчитали, можно переписать следующим образом:

\[{{\left(\frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{x}=y\cdot {{\left(\frac{1}{x} \right)}^{\prime }}_{x}=-y\frac{1}{{{x}^{2}}}\]

\[{{\left(xy \right)}^{\prime }}_{x}=y\cdot {{{x}"}_{x}}=y\cdot 1=y\]

Вместе с тем, с другой стороны, можно использовать формулу от производной суммы. Как мы знаем, она равна сумме производных. Например, запишем следующее:

\[{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}_{x}=2x+0+0=2x\]

Теперь, зная все это, давайте попробуем поработать с более серьезными выражениями, поскольку настоящие частные производные не ограничиваются одними лишь многочленами и корнями: там встречаются и тригонометрия, и логарифмы, и показательная функция. Сейчас этим и займемся.

Задачи с тригонометрическими функциями и логарифмами

Задача № 1

Запишем следующие стандартные формулы:

\[{{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\]

\[{{\left(\cos x \right)}^{\prime }}_{x}=-\sin x\]

Вооружившись этими знаниями, попробуем решить:

\[{{{z}"}_{x}}={{\left(\sqrt{x}\cdot \cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}_{x}\cdot \cos \frac{x}{y}+\sqrt{x}\cdot {{\left(\cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=\]

Отдельно выпишем одну переменную:

\[{{\left(\cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=-\sin \frac{x}{y}\cdot {{\left(\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=-\frac{1}{y}\cdot \sin \frac{x}{y}\]

Возвращаемся к нашей конструкции:

\[=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot \cos \frac{x}{y}+\sqrt{x}\cdot \left(-\frac{1}{y}\cdot \sin \frac{x}{y} \right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot \cos \frac{x}{y}-\frac{\sqrt{x}}{y}\cdot \sin \frac{x}{y}\]

Все, по $x$ мы нашли, теперь давайте займемся вычислениями по $y$:

\[{{{z}"}_{y}}={{\left(\sqrt{x}\cdot \cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}={{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}_{y}\cdot \cos \frac{x}{y}+\sqrt{x}\cdot {{\left(\cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=\]

Опять же посчитаем одно выражение:

\[{{\left(\cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=-\sin \frac{x}{y}\cdot {{\left(\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=-\sin \frac{x}{y}\cdot x\cdot \left(-\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)\]

Возвращаемся к исходному выражению и продолжаем решение:

\[=0\cdot \cos \frac{x}{y}+\sqrt{x}\cdot \frac{x}{{{y}^{2}}}\sin \frac{x}{y}=\frac{x\sqrt{x}}{{{y}^{2}}}\cdot \sin \frac{x}{y}\]

Все сделано.

Задача № 2

Запишем необходимую нам формулу:

\[{{\left(\ln x \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{x}\]

Теперь посчитаем по $x$:

\[{{{z}"}_{x}}={{\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{x+\ln y}.{{\left(x+\ln y \right)}^{\prime }}_{x}=\]

\[=\frac{1}{x+\ln y}\cdot \left(1+0 \right)=\frac{1}{x+\ln y}\]

По $x$ найдено. Считаем по $y$:

\[{{{z}"}_{y}}={{\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{x+\ln y}.{{\left(x+\ln y \right)}^{\prime }}_{y}=\]

\[=\frac{1}{x+\ln y}\left(0+\frac{1}{y} \right)=\frac{1}{y\left(x+\ln y \right)}\]

Задача решена.

Нюансы решения

Итак, от какой бы функции мы не брали частную производную, правила остаются одними и теми же, независимо от того, работаем ли мы с тригонометрией, с корнями или с логарифмами.

Неизменными остаются классические правила работы со стандартными производными, а именно, производная суммы и разности, частного и сложной функции.

Последняя формула чаще всего и встречается при решении задач с частными производными. Мы встречаемся с ними практически везде. Ни одной задачи еще не было, чтобы там нам она не попадалась. Но какой бы мы формулой не воспользовались, нам все равно добавляется еще одно требование, а именно, особенность работы с частными производными. Как только мы фиксируем одну переменную, все остальные оказываются константами. В частности, если мы считаем частную производную выражения $\cos \frac{x}{y}$ по $y$, то именно $y$ и является переменной, а $x$ везде остается константой. То же самое работает и наоборот. Ее можно выносить за знак производной, а производная от самой константы будет равна «нулю».

Все это приводит к тому, что частные производные от одного и того же выражения, но по разным переменным могут выглядеть совершенно по-разному. Например, посмотрим такие выражения:

\[{{\left(x+\ln y \right)}^{\prime }}_{x}=1+0=1\]

\[{{\left(x+\ln y \right)}^{\prime }}_{y}=0+\frac{1}{y}=\frac{1}{y}\]

Задачи с показательными функциями и логарифмами

Задача № 1

Для начала запишем такую формулу:

\[{{\left({{e}^{x}} \right)}^{\prime }}_{x}={{e}^{x}}\]

Зная этот факт, а также производную сложной функции, давайте попробуем посчитать. Я сейчас решу двумя различными способами. Первый и самый очевидный — это производная произведения:

\[{{{z}"}_{x}}={{\left({{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left({{e}^{x}} \right)}^{\prime }}_{x}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{\left({{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}=\]

\[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot {{\left(\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=\]

Давайте решим отдельно следующее выражение:

\[{{\left(\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{{{{{x}"}}_{x}}\cdot y-x.{{{{y}"}}_{x}}}{{{y}^{2}}}=\frac{1\cdot y-x\cdot 0}{{{y}^{2}}}=\frac{y}{{{y}^{2}}}=\frac{1}{y}\]

Возвращаемся к нашей исходной конструкции и продолжаем решение:

\[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot \frac{1}{y}={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\left(1+\frac{1}{y} \right)\]

Все, по $x$ посчитано.

Однако как я и обещал, сейчас постараемся посчитать эту же частную производную другим способом. Для этого заметим следующее:

\[{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}={{e}^{x+\frac{x}{y}}}\]

В этом запишем так:

\[{{\left({{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left({{e}^{x+\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{e}^{x+\frac{x}{y}}}\cdot {{\left(x+\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}={{e}^{x+\frac{x}{y}}}\cdot \left(1+\frac{1}{y} \right)\]

В результате мы получили точно такой же ответ, однако объем вычислений оказался меньшим. Для этого достаточно было заметить, что при произведении показатели можно складывать.

Теперь посчитаем по $y$:

\[{{{z}"}_{y}}={{\left({{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{y}={{\left({{e}^{x}} \right)}^{\prime }}_{y}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{\left({{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{y}=\]

\[=0\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot {{\left(\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=\]

Давайте решим одно выражение отдельно:

\[{{\left(\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{{{{{x}"}}_{y}}\cdot y-x\cdot {{{{y}"}}_{y}}}{{{y}^{2}}}=\frac{0-x\cdot 1}{{{y}^{2}}}=-\frac{1}{{{y}^{2}}}=-\frac{x}{{{y}^{2}}}\]

Продолжим решение нашей исходной конструкции:

\[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot \left(-\frac{x}{{{y}^{2}}} \right)=-\frac{x}{{{y}^{2}}}\cdot {{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\]

Разумеется, эту же производную можно было бы посчитать вторым способом, ответ получился бы таким же.

Задача № 2

Посчитаем по $x$:

\[{{{z}"}_{x}}={{\left(x \right)}_{x}}\cdot \ln \left({{x}^{2}}+y \right)+x\cdot {{\left(\ln \left({{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{x}=\]

Давайте посчитаем одно выражение отдельно:

\[{{\left(\ln \left({{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot {{\left({{x}^{2}}+y \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{2x}{{{x}^{2}}+y}\]

Продолжим решение исходной конструкции: $$

Вот такой ответ.

Осталось по аналогии найти по $y$:

\[{{{z}"}_{y}}={{\left(x \right)}^{\prime }}_{y}.\ln \left({{x}^{2}}+y \right)+x\cdot {{\left(\ln \left({{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{y}=\]

Одно выражение посчитаем как всегда отдельно:

\[{{\left({{x}^{2}}+y \right)}^{\prime }}_{y}={{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}_{y}+{{{y}"}_{y}}=0+1=1\]

Продолжаем решение основной конструкции:

Все посчитано. Как видите, в зависимости от того, какая переменная берется для дифференцирования, ответы получаются совершенно разные.

Нюансы решения

Вот яркий пример того, как производную одной и той же функции можно посчитать двумя различными способами. Вот смотрите:

\[{{{z}"}_{x}}=\left({{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)={{\left({{e}^{x}} \right)}^{\prime }}_{x}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{\left({{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}=\]

\[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot \frac{1}{y}={{e}^{x}}\cdot {{e}^{^{\frac{x}{y}}}}\left(1+\frac{1}{y} \right)\]

\[{{{z}"}_{x}}={{\left({{e}^{x}}.{{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left({{e}^{x+\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{e}^{x+\frac{x}{y}}}.{{\left(x+\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=\]

\[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{^{\frac{x}{y}}}}\left(1+\frac{1}{y} \right)\]

При выборе разных путей, объем вычислений может быть разный, но ответ, если все выполнено верно, получится одним и тем же. Это касается как классических, так и частных производных. При этом еще раз напоминаю: в зависимости от того, по какой переменной идет взятие производной, т.е. дифференцирование, ответ может получиться совершенно разный. Посмотрите:

\[{{\left(\ln \left({{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot {{\left({{x}^{2}}+y \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot 2x\]

\[{{\left(\ln \left({{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot {{\left({{x}^{2}}+y \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot 1\]

В заключение для закрепления всего этого материала давайте попробуем посчитать еще два примера.

Задачи с тригонометрической функция и функцией с тремя переменными

Задача № 1

Давайте запишем такие формулы:

\[{{\left({{a}^{x}} \right)}^{\prime }}={{a}^{x}}\cdot \ln a\]

\[{{\left({{e}^{x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{x}}\]

Давайте теперь решать наше выражение:

\[{{{z}"}_{x}}={{\left({{3}^{x\sin y}} \right)}^{\prime }}_{x}={{3}^{x.\sin y}}\cdot \ln 3\cdot {{\left(x\cdot \sin y \right)}^{\prime }}_{x}=\]

Отдельно посчитаем такую конструкцию:

\[{{\left(x\cdot \sin y \right)}^{\prime }}_{x}={{{x}"}_{x}}\cdot \sin y+x{{\left(\sin y \right)}^{\prime }}_{x}=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Продолжаем решать исходное выражение:

\[={{3}^{x\sin y}}\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Это окончательный ответ частной переменной по $x$. Теперь посчитаем по $y$:

\[{{{z}"}_{y}}={{\left({{3}^{x\sin y}} \right)}^{\prime }}_{y}={{3}^{x\sin y}}\cdot \ln 3\cdot {{\left(x\sin y \right)}^{\prime }}_{y}=\]

Решим одно выражение отдельно:

\[{{\left(x\cdot \sin y \right)}^{\prime }}_{y}={{{x}"}_{y}}\cdot \sin y+x{{\left(\sin y \right)}^{\prime }}_{y}=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Решаем до конца нашу конструкцию:

\[={{3}^{x\cdot \sin y}}\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Задача № 2

На первый взгляд этот пример может показаться достаточно сложным, потому что здесь три переменных. На самом деле, это одна из самых простых задач в сегодняшнем видеоуроке.

Находим по $x$:

\[{{{t}"}_{x}}={{\left(x{{e}^{y}}+y{{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left(x\cdot {{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{x}+{{\left(y\cdot {{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{x}=\]

\[={{\left(x \right)}^{\prime }}_{x}\cdot {{e}^{y}}+x\cdot {{\left({{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{x}=1\cdot {{e}^{y}}+x\cdot o={{e}^{y}}\]

Теперь разберемся с $y$:

\[{{{t}"}_{y}}={{\left(x\cdot {{e}^{y}}+y\cdot {{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{y}={{\left(x\cdot {{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{y}+{{\left(y\cdot {{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{y}=\]

\[=x\cdot {{\left({{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{y}+{{e}^{z}}\cdot {{\left(y \right)}^{\prime }}_{y}=x\cdot {{e}^{y}}+{{e}^{z}}\]

Мы нашли ответ.

Теперь остается найти по $z$:

\[{{{t}"}_{z}}={{\left(x\cdot {{e}^{y}}+{{y}^{z}} \right)}^{\prime }}_{z}={{\left(x\cdot {{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{z}+{{\left(y\cdot {{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{z}=0+y\cdot {{\left({{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{z}=y\cdot {{e}^{z}}\]

Мы посчитали третью производную, на чем решение второй задачи полностью завершено.

Нюансы решения

Как видите, ничего сложного в этих двух примерах нет. Единственное, в чем мы убедились, так это в том, что производная сложной функции применяется часто и в зависимости от того, какую частную производную мы считаем, мы получаем разные ответы.

В последней задаче нам было предложено разобраться с функцией сразу от трех переменных. Ничего страшного в этом нет, однако в самом конце мы убедились, что все они друг от друга существенно отличаются.

Ключевые моменты

Окончательные выводы из сегодняшнего видеоурока следующие:

1. Частные производные считаются так же, как и обычные, при этом, чтобы считать частную производную по одной переменной, все остальные переменные, входящие в данную функцию, мы принимаем за константы.
2. При работе с частными производными мы используем все те же стандартные формулы, что и с обычными производными: сумму, разность, производную произведения и частного и, разумеется, производную сложной функции.

Конечно, просмотра одного этого видеоурока недостаточно, чтобы полностью разобраться в этой теме, поэтому прямо сейчас на моем сайте именно к этому видео есть комплект задач, посвященных именно сегодняшней теме — заходите, скачивайте, решайте эти задачи и сверяйтесь с ответом. И после этого никаких проблем с частными производными ни на экзаменах, ни на самостоятельных работах у вас не будет. Конечно, это далеко не последний урок по высшей математике, поэтому заходите на наш сайт, добавляйтесь ВКонтакте, подписывайтесь на YouTube, ставьте лайки и оставайтесь с нами!

Функции двух переменных, частные производные, дифференциалы и градиент

Тема 5. Функции двух переменных.

частные производные

Определение функции двух переменных, способы задания.

Частные производные.

Градиент функции одной переменной

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области

1. Определение функции нескольких переменных, способы задания

Для функции двух переменных
областью определения является некоторое множество точек на плоскости
, а областью значений - промежуток на оси
.

Для наглядного представления функции двух перемен ных применяются линии уровня .

Пример . Для функции
построить график и линии уровня. Записать уравнение линии уровня, проходящей через точку
.

Графиком линейной функции является плоскость в пространстве.

Для функции график представляет собой плоскость, проходящую через точки
,
,
.

Линиями уровня функции являются параллельные прямые, уравнение которых
.

Для линейной функции двух переменных
линии уровня задаются уравнением
и представляют собой семейство параллельных прямых на плоскости.

4

График функции 0 1 2 Х

Линии уровня функции

Частные прои зводные функции двух переменных

Рассмотрим функцию
. Придадим переменной в точке
произвольное приращение
, оставляя значение переменной неизменным . Соответствующее приращение функции

называется частным приращением функции по переменной в точке
.

Аналогично определяется частное приращение функции по переменной : .

Обозначение частной производной по : , ,
,
.

Частной производной функции по переменной называется конечный предел:

Обозначения: , ,
,
.

Для нахождения частной производной
по переменной используются правила дифференцирования функции одной переменной, считая переменную постоянной..

Аналогично, для нахождения частной производной по переменной постоянной считается переменная .

Пример . Для функции
найти частные производные
,
и вычислить их значения в точке
.

Частная производная функции
по переменной находится в предположении, что постоянна:

Найдем частную производную функции по , считая постоянной :

Вычислим значения частных производных при
,
:

;
.

Частными производными второго порядка функции нескольких переменных называются частные производные от частных производных первого порядка.

Запишем для функции частные производные 2-го порядка:

;
;

;
.

;
и т.д.

Если смешанные частные производные функции нескольких переменных непрерывны в некоторой точке
, то они равны между собой в этой точке. Значит, для функции двух переменных значения смешанных частных производных не зависят от порядка дифференцирования:

.

Пример. Для функции найти частные производные второго порядка
и
.

Решение

Смешанная частная производная находится последовательным дифференцированием сначала функции по (считая постоянным), затем дифференцированием производной
по (считая постоянным).

Производная находится дифференцированием сначала функции по , затем производной по .

Смешанные частные производные равны между собой:
.

3. Градиент функции двух переменных

Свойства градиента

Пример . Дана функция
. Найти градиент
в точке
и построить его.

Решение

Найдем координаты градиента – частные производные.

В точке
градиент равен . Начало вектора
в точке , а конец - в точке .

5

4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области

Постановка задачи. Пусть на плоскости замкнутая ограниченная область
задается системой неравенств вида
. Требуется найти в области точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения.

Важной является задача нахождения экстремума , математическая модель которой содержит линейные ограничения (уравнения, неравенства) и линейную функцию
.

Постановка задачи. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
(2.1)

при ограничениях

(2.2)

. (2.3)

Поскольку для линейной функции многих переменных нет критических точек внутри области
, то оптимальное решение, доставляющее целевой функции экстремум, достигается только на границе области . Для области, заданной линейными ограничениями, точками возможного экстремума являются угловые точки . Это позволяет рассматривать решение задачи графическим методом .

Графическое решение системы линейных неравенств

Для графического решения данной задачи необходимо уметь решать графически системы линейных неравенств с двумя переменными.

Порядок действий:

Отметим, что неравенство
определяет правую координатную полуплоскость (от оси
), а неравенство
- верхнюю координатную полуплоскость (от оси
).

Пример. Решить графически неравенство
.

Запишем уравнение граничной прямой
и построим ее по двум точкам, например,
и
. Прямая делит плоскость на две полуплоскости.

Координаты точки
удовлетворяют неравенству (
– верно), значит, и координаты всех точек полуплоскости, содержащей точку , удовлетворяют неравенству. Решением неравенства будут координаты точек полуплоскости, расположенной справа от граничной прямой , включая точки на границе. Искомая полуплоскость на рисунке выделена.

Решение
системы неравенств называется допустимым , если его координаты неотрицательны , . Множество допустимых решений системы неравенств образует область, которая расположенав первой четверти координатной плоскости.

Пример. Построить область решений системы неравенств

Решениями неравенств является:

1)
- полуплоскость, расположенная левее и ниже относительно прямой ()
;

2)
– полуплоскость, расположенная в правой-нижней полуплоскости относительно прямой ()
;

3)
- полуплоскость, расположенная правее прямой ()
;

4) - полуплоскость выше оси абсцисс, то есть прямой ()
.

0

Область допустимых решений данной системы линейных неравенств – это множество точек, расположенных внутри и на границе четырехугольника
, являющегося пересечением четырех полуплоскостей.

Геометрическое изображение линейной функции

(линии уровня и градиент)

Зафиксируем значение
, получим уравнение
, которое геометрически задает прямую. В каждой точке прямой функция принимает значение и является линией уровня. Придавая различные значения, например,

, ... , получим множество линий уровня - совокупность параллельных прямых .

Построим градиент - вектор
, координаты которого равны значениям коэффициентов при переменных в функции
. Данный вектор: 1) перпендикулярен каждой прямой (линии уровня)
; 2) показывает направление возрастания целевой функции.

Пример . Построить линии уровня и градиент функции
.

Линии уровня при , , - это прямые

,
,

, параллельные друг другу . Градиент – это вектор , перпендикулярный каждой линии уровня.

Графическое нахождение наибольшего и наименьшего значений линейной функции в области

Геометрическая постановка задачи. Найти в области решений системы линейных неравенств точку, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему (наименьшему) значению линейной функции с двумя переменными.

Последовательность действий:

4. Найти координаты точки А, решая систему уравнений прямых, пересекающихся в точке А, и вычислить наименьшее значение функции
. Аналогично - для точки В и наибольшего значения функции
. построена по точкам.переменных Частные производные функции нескольких переменных и техника дифференцирования. Экстремум функции двух переменных и его необходимое...

Продолжаем всеми любимую тему математического анализа – производные. В данной статье мы научимся находить частные производные функции трёх переменных : первые производные и вторые производные. Что необходимо знать и уметь для освоения материала? Не поверите, но, во-первых, нужно уметь находить «обычные» производные функции одной переменной – на высоком или хотя бы среднем уровне. Если с ними совсем туго, то начните с урока Как найти производную? Во-вторых, очень важно прочитать статью и осмыслить-прорешать если не все, то бОльшую часть примеров. Если это уже сделано, то уверенной походкой идём со мной, будет интересно, даже удовольствие получите!

Методы и принципы нахождения частных производных функции трёх переменных на самом деле очень похожи на частные производные функции двух переменных. Функция двух переменных, напоминаю, имеет вид , где «икс» и «игрек» – независимые переменные. Геометрически функция двух переменных представляет собой некоторую поверхность в нашем трёхмерном пространстве.

Функция трёх переменных имеет вид , при этом переменные называютсянезависимыми переменными или аргументами , переменная называется зависимой переменной или функцией . Например: – функция трёх переменных

А теперь немного о фантастических фильмах и инопланетянах. Часто можно услышать о четырехмерном, пятимерном, десятимерном и т.д. пространствах. Чушь или нет?
Ведь функция трёх переменных подразумевает тот факт, что все дела происходят в четырехмерном пространстве (действительно, переменных же четыре). График функции трёх переменных представляет собой так называемую гиперповерхность . Представить её невозможно, поскольку мы живём в трехмерном пространстве (длина/ширина/высота). Чтобы вам со мной не было скучно, предлагаю викторину. Я задам несколько вопросов, а желающие могут попробовать на них ответить:

– Существует ли в мире четвертое, пятое и т.д. измерения в смысле обывательского понимания пространства (длина/ширина/высота)?

– Можно ли построить четырехмерное, пятимерное и т.д. пространство в широком понимании этого слова? То есть, привести пример такого пространства в нашей жизни.

– Возможно ли путешествие в прошлое?

– Возможно ли путешествие в будущее?

– Существуют ли инопланетяне?

На любой вопрос можно выбрать один из четырёх ответов:
Да / Нет (наукой это запрещено) / Наукой это не запрещено / Не знаю

Кто правильно ответит на все вопросы, тот, скорее всего, обладает некоторой вещью;-)

Ответы на вопросы я постепенно буду выдавать по ходу урока, не пропускайте примеры!

Собственно, полетели. И сразу хорошая новость: для функции трёх переменных справедливы правила дифференцирования и таблица производных . Именно поэтому вам необходимо хорошо управляться с «обычными» производными функций одной переменной. Отличий совсем немного!

Пример 1

Решение: Нетрудно догадаться –для функции трёх переменных существуют три частных производных первого порядка, которые обозначаются следующим образом:

Или – частная производная по «икс»;
или – частная производная по «игрек»;
или – частная производная по «зет».

В ходу больше обозначение со штрихом, но составители сборников, методичек в условиях задач очень любят использовать как раз громоздкие обозначения – так что не теряйтесь! Возможно, не все знают, как правильно читать вслух эти «страшные дроби». Пример: следует читать следующим образом: «дэ у по дэ икс».

Начнём с производной по «икс»: . Когда мы находим частную производную по , то переменныеи считаются константами (постоянными числами). А производная любой константы, о, благодать, равна нулю:

Сразу обратите внимание на подстрочный индекс – никто вам не запрещает помечать, что являются константами. Так даже удобнее, начинающим рекомендую использовать именно такую запись, меньше риск запутаться.

(1) Используем свойства линейности производной, в частности, выносим все константы за знак производной. Обратите внимание, что во втором слагаемом константу выносить не нужно: так как «игрек» является константой, то – тоже константа. В слагаемом за знак производной вынесена «обычная» константа 8 и константа «зет».

(2) Находим простейшие производные, не забывая при этом, что – константы. Далее причесываем ответ.

Частная производная . Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменныеи считаются константами:

(1) Используем свойства линейности. И снова заметьте, что слагаемые , являются константами, а значит, за знак производной выносить ничего не нужно.

(2) Находим производные, не забывая, что константы. Далее упрощаем ответ.

И, наконец, частная производная . Когда мы находим частную производную по «зет», то переменныеи считаются константами:

Общее правило очевидно и незатейливо: Когда мы находим частную производную по какой-либо независимой переменной, то две другие независимые переменные считаются константами.

При оформлении данных задач следует быть предельно внимательным, в частности, нельзя терять подстрочные индексы (которые указывают, по какой переменной проводится дифференцирование). Потеря индекса будет ГРУБЫМ НЕДОЧЁТОМ. Хммм…. забавно, если после такого устрашения я их сам где-нибудь их пропущу)

Пример 2

Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Рассмотренные два примера достаточно просты и, решив несколько подобных задачек, даже чайник приноровится расправляться с ними устно.

Для разгрузки вернемся к первому вопросу викторины: Существует ли в мире четвертое, пятое и т.д. измерения в смысле обывательского понимания пространства (длина/ширина/высота)?

Верный ответ: Наукой это не запрещено . Вся фундаментальная математическая аксиоматика, теоремы, математический аппарат прекрасно и непротиворечиво работают в пространстве любой размерности. Не исключено, что где-нибудь во Вселенной существуют неподвластные нашему разуму гиперповерхности, например, четырёхмерная гиперповерхность, которая задается функцией трех переменных . А может быть гиперповерхности рядом с нами или даже мы находимся прямо в них, просто наше зрение, другие органы чувств, сознание способны на восприятие и осмысление только трёх измерений.

Вернемся к примерам. Да, если кто сильно загрузился викториной, ответы на следующие вопросы лучше прочитать после того, как научитесь находить частные производные функции трёх переменных, а то я вам по ходу статьи вынесу весь мозг =)

Помимо простейших Примеров 1,2 на практике встречаются задания, которые можно назвать небольшой головоломкой. Такие примеры, к моей досаде, выпали из поля зрения, когда я создавал урок Частные производные функции двух переменных . Навёрстываем упущенное:

Пример 3

Решение: вроде бы тут «всё просто», но первое впечатление обманчиво. При нахождении частных производных многие будут гадать на кофейной гуще и ошибаться.

Разберём пример последовательно, чётко и понятно.

Начнём с частной производной по «икс». Когда мы находим частную производную по «икс», то переменные считаются константами. Следовательно, показатель нашей функции – тоже константа. Для чайников рекомендую следующий приём решения: на черновике поменяйте константу на конкретное положительное целое число, например, на «пятерку». В результате получится функция одной переменной:
или ещё можно записать так:

Это степенная функция со сложным основанием (синусом). По :

Теперь вспоминаем, что , таким образом:

На чистовике, конечно, решение следует оформить так:

Находим частную производную по «игрек», считаются константами. Если «икс» константа, то – тоже константа. На черновике проделываем тот же трюк: заменим, например, на 3, «зет» – заменим той же «пятёркой». В результате снова получается функция одной переменной:

Это показательная функция со сложным показателем. По правилу дифференцирования сложной функции :

Теперь вспоминаем нашу замену:

Таким образом:

На чистовике, понятно, оформление должно выглядеть, благообразно:

И зеркальный случай с частной производной по «зет» ( – константы):

При определенном опыте проведенный анализ можно проводить мысленно.

Выполняем вторую часть задания – составим дифференциал первого порядка. Это очень просто, по аналогии с функцией двух переменных, дифференциал первого порядка записывается по формуле:

В данном случае:

И делов то. Отмечу, что в практических задачах полный дифференциал 1-го порядка функции трёх переменных требуют составить значительно реже, чем для функции двух переменных.

Забавный пример для самостоятельного решения:

Пример 4

Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных и составить полный дифференциал первого порядка

Полное решение и ответ в конце урока. Если возникнут затруднения, используйте рассмотренный «чайниковский» алгоритм, он гарантированно должен помочь. И ещё полезный совет – не спешите . Такие примеры быстро не решаю даже я.

Отвлекаемся и разбираем второй вопрос: Можно ли построить четырехмерное, пятимерное и т.д. пространство в широком понимании этого слова? То есть, привести пример такого пространства в нашей жизни.

Верный ответ: Да . Причём, очень легко. Например, добавляем к длине/ширине/высоте четвёртое измерение – время. Популярное четырехмерное пространство-время и всем известная теория относительности, аккуратно украденная Эйнштейном у Лобачевского, Пуанкаре, Лоренца и Минковского. Тоже не все знают. За что у Эйнштейна Нобелевская премия? В научном мире был страшный скандал, и Нобелевский комитет сформулировал заслугу плагиатора примерно следующим образом: «За общий вклад в развитие физики». Так то оно. Бренд троечника Эйнштейна – чистая раскрутка и пиар.

К рассмотренному четырехмерному пространству легко добавить пятое измерение, например: атмосферное давление. И так далее, так далее, так далее, сколько зададите измерений в своей модели – столько и будет. В широком смысле слова мы живём в многомерном пространстве.

Разберём еще пару типовых задач:

Пример 5

Найти частные производные первого порядка в точке

Решение: Задание в такой формулировке часто встречается на практике и предполагает выполнение следующих двух действий:
– нужно найти частные производные первого порядка;
– нужно вычислить значения частных производных 1-го порядка в точке .

Решаем:

(1) Перед нами сложная функция, и на первом шаге следует взять производную от арктангенса. При этом мы, по сути, невозмутимо используем табличную формулу производной арктангенса . По правилу дифференцирования сложной функции результат необходимо домножить на производную внутренней функции (вложения): .

(2) Используем свойства линейности.

(3) И берём оставшиеся производные, не забывая, что – константы.

По условию задания необходимо найти значение найденной частной производной в точке . Подставим координаты точки в найденную производную:

Преимуществом данного задания является тот факт, что другие частные производные находятся по очень похожей схеме:

Как видите, шаблон решения практически такой же.

Вычислим значение найденной частной производной в точке :

И, наконец, производная по «зет»:

Готово. Решение можно было оформить и по другому: сначала найти все три частные производные, а потом вычислить их значения в точке . Но, мне кажется, приведенный способ удобнее – только нашли частную производную, и сразу, не отходя от кассы, вычислили её значение в точке.

Интересно отметить, что геометрически точка – вполне реальная точка нашего трехмерного пространства. Значения же функции , производных – уже четвертое измерение, и где оно геометрически находится, никто не знает. Как говорится, по Вселенной никто с рулеткой не ползал, не проверял.

Коль скоро снова философская тема пошла, рассмотрим третий вопрос: Возможно ли путешествие в прошлое?

Верный ответ: Нет . Путешествие в прошлое противоречит второму закону термодинамики о необратимости физических процессов (энтропии). Так что не ныряйте, пожалуйста, в бассейн без воды, событие можно открутить назад только в видеозаписи =) Народная мудрость не зря придумала противоположный житейский закон: «Семь раз отмерь, один раз отрежь». Хотя, на самом деле грустная штука, время однонаправлено и необратимо, никто из нас завтра не помолодеет. А различные фантастические фильмы вроде «Терминатора» с научной точки зрения – полная чушь. Абсурд и с точки зрения философии – когда Следствие, вернувшись в прошлое, может уничтожить собственную же Причину. .

Интереснее с производной по «зет», хотя, всё равно почти то же самое:

(1) Выносим константы за знак производной.

(2) Здесь опять произведение двух функций, каждая из которых зависит от «живой» переменной «зет». В принципе, можно использовать формулу производной частного, но проще таки пойти другим путём – найти производную от произведения.

(3) Производная – это табличная производная. Во втором слагаемом – уже знакомая производная сложной функции.

Пример 9

Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных

Это пример для самостоятельного решения. Подумайте, как рациональнее находить ту или иную частную производную. Полное решение и ответ в конце урока.

Перед тем как перейти к заключительным примерам урока и рассмотреть частные производные второго порядка функции трёх переменных, всех еще раз взбодрю четвертым вопросом:

Возможно ли путешествие в будущее?

Верный ответ: Наукой это не запрещено . Парадоксально, но не существует математического, физического, химического или другого естественнонаучного закона, который бы запрещал путешествие в будущее! Кажется чушью? Но практически у каждого в жизни бывало предчувствие (причём, не подкрепленное никакими логическими доводами), что произойдет то или иное событие. И оно происходило! Откуда пришла информация? Из будущего? Таким образом, фантастические фильмы о путешествии в будущее, да и, к слову, предсказания всевозможных гадалок, экстрасенсов нельзя назвать таким уж бредом. По крайне мере, наука этого не опровергла. Всё возможно! Так, когда я учился в школе, то компакт диски и плоские мониторы из фильмов казались мне невероятной фантастикой.

Известная комедия «Иван Васильевич меняет профессию» – выдумка наполовину (как максимум). Никакой научный закон не запрещал Ивану Грозному оказаться в будущем, но невозможно, чтобы два перца оказались в прошлом и исполняли обязанности царя.

И не нужно ничего искать: в нашей отдельной статье мы уже подготовили все для того, чтобы у вас это получилось. А сейчас речь пойдет о частных производных.

Добро пожаловать на наш телеграм-канал за полезной рассылкой и актуальными студенческими новостями.

Функция двух и более переменных

Прежде чем говорить о частных производных, нужно затронуть понятие функции нескольких переменных, без которого нет смысла в частной производной. В школе мы привыкли иметь дело с функциями одной переменной:

Производными таких функций мы и считали раньше. График функции одной переменной представляет собой линию на плоскости: прямую, параболу, гиперболу и т.д.

А что, если добавить еще одну переменную? Получится такая функция:

Это – функция двух независимых переменных x и y . График такой функции представляет собой поверхность в трехмерном пространстве: шар, гиперболоид, параболоид или еще какой-нибудь сферический конь в вакууме. Частные производные функции z по иксу и игреку соответственно записываются так:

Существуют также функции трех и более переменных. Правда, график такой функции нарисовать невозможно: для этого понадобилось бы как минимум четырехмерное пространство, которое невозможно изобразить.

Частная производная первого порядка

Запоминаем главное правило:

При вычислении частной производной по одной из переменных, вторая переменная принимается за константу. В остальном правила вычисления производной не меняются.

То есть, частная производная по сути ничем не отличается от обычной. Так что, держите перед глазами таблицу производных элементарных функций и правила вычисления обычных производных . Рассмотрим пример, чтобы стало совсем понятно. Допустим, нужно вычислить частные производные первого порядка следующей функции:

Сначала возьмем частную производную по иксу, считая игрек обычным числом:

Теперь считаем частную производную по игреку, принимая икс за константу:

Как видите, ничего сложного в этом нет, а успех с более сложными примерами – лишь дело практики.

Частная производная второго порядка

Как находится частная производная второго порядка? Так же, как и первого. Чтобы найти частные производные второго порядка, нужно просто взять производную от производной первого порядка. Вернемся к примеру выше и посчитаем частные производные второго порядка.

По игреку:

Частные производные третьего и высших порядков не отличаются по принципу вычисления. Систематизируем правила:

1. При дифференцировании по одной независимой переменной, вторая принимается за константу.
2. Производная второго порядка – это производная от производной первого порядка. Третьего порядка – производная от производной второго порядка и т.д.

Частные производные и полный дифференциал функции

Частый вопрос в практических заданиях – нахождение полного дифференциала функции. Для функции нескольких переменных полный дифференциал определяется, как главная линейная часть малого полного приращения функции относительно приращений аргументов.

Определение звучит громоздко, но с буквами все проще. Полный дифференциал первого порядка функции нескольких переменных выглядит так:

Зная, как считаются частные производные, нет никакой проблемы вычислить и полный дифференциал.

Частные производные – не такая уж и бесполезная тема. Например, дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка широко используются для математического описания реальных физических процессов.

Здесь мы дали лишь общее, поверхностное представление о частных производных первого и второго порядка. Вас интересует эта тема или остались конкретные вопросы? Задавайте их в комментариях и обращайтесь к экспертам профессионального студенческого сервиса за квалифицированной и скорой помощью в учебе. С нами вы не останетесь один на один с проблемой!

Общий принцип нахождения частных производных порядка второго порядка функции трёх переменных аналогичен принципу нахождения частных производных 2-го порядка функции двух переменных.

Для того чтобы найти частные производные второго порядка, необходимо сначала найти частные производные первого порядка или, в другой записи:

Частных производных второго порядка девять штук.

Первая группа – это вторые производные по тем же переменным:

Или – вторая производная по «икс»;

Или – вторая производная по «игрек»;

Или – вторая производная по «зет».

Вторая группа – это смешанные частные производные 2-го порядка, их шесть:

Или – смешанная производная «по икс игрек»;

Или – смешанная производная «по игрек икс»;

Или – смешанная производная «по икс зет»;

Или – смешанная производная «по зет икс»;

Или – смешанная производная «по игрек зет»;

Или – смешанная производная «по зет игрек».

Как и для случая функции двух переменных, при решении задач можно ориентироваться на следующие равенства смешанных производных второго порядка:

Примечание: строго говоря, это не всегда так. Для равенства смешанных производных необходимо выполнение требования их непрерывности.

На всякий случай несколько примеров, как правильно читать сиё безобразие вслух:

– «у два штриха дважды по игрек»;

– «дэ два у по дэ зет квадрат»;

– «у два штриха по икс по зет»;

– «дэ два у по дэ зет по дэ игрек».

Пример 10

Найти все частные производные первого и второго порядка для функции трёх переменных:

.

Решение: Сначала найдем частные производные первого порядка:

Берём найденную производную

и дифференцируем её по «игрек»:

Берём найденную производную

и дифференцируем её по «икс»:

Равенство выполнено. Хорошо.

Разбираемся со второй парой смешанных производных.

Берём найденную производную

и дифференцируем её по «зет»:

Берём найденную производную

и дифференцируем её по «икс»:

Равенство выполнено. Хорошо.

Аналогично разбираемся с третьей парой смешанных производных:

Равенство выполнено. Хорошо.

После проделанных трудов гарантированно можно утверждать, что, во-первых, мы правильно нашли все частные производные 1-го порядка, во-вторых, правильно нашли и смешанные частные производные 2-го порядка.

Осталось найти ещё три частные производные второго порядка, вот здесь уже во избежание ошибок следует максимально сконцентрировать внимание:

Готово. Повторюсь, задание не столько сложное, сколько объемное. Решение можно сократить и сослаться на равенства смешанных частных производных, но в этом случае не будет проверки. Поэтому лучше потратить время и найти все производные (к тому же это может потребовать преподаватель), или, в крайнем случае, выполнить проверку на черновике.

Пример 11

Найти все частные производные первого и второго порядка для функции трёх переменных

.

Это пример для самостоятельного решения.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Пример 4: Решение: Найдем частные производные первого порядка.

Составим полный дифференциал первого порядка:

Пример 6: Решение: M (1, -1, 0):

Пример 7: Решение: Вычислим частные производные первого порядка в точке M (1, 1, 1):

Пример 9: Решение:

Пример 11: Решение: Найдем частные производные первого порядка:

Найдем частные производные второго порядка:

.

Интегралы

8.1. Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений

Начнем изучение темы «Неопределенный интеграл» , а также подробно разберем примеры решений простейших (и не совсем) интегралов. Как обычно, мы ограничимся минимумом теории, которая есть в многочисленных учебниках, наша задача – научиться решать интегралы.

Что нужно знать для успешного освоения материала? Для того, чтобы справиться с интегральным исчислением, Вам необходимо уметь находить производные, минимум, на среднем уровне. Не лишним опытом будет, если у Вас за плечами несколько десятков, а лучше – сотня самостоятельно найденных производных. По крайне мере, Вас не должны ставить в тупик задания на дифференцирование простейших и наиболее распространенных функций.

Казалось бы, причем здесь вообще производные, если речь в статье пойдет об интегралах?! А дело вот в чем. Дело в том, что нахождение производных и нахождение неопределенных интегралов (дифференцирование и интегрирование) – это два взаимно обратных действия , как, например, сложение/вычитание или умножение/деление. Таким образом, без навыка и какого-никакого опыта нахождения производных, к сожалению, дальше не продвинуться.

В этой связи нам потребуются следующие методические материалы: Таблица производных и Таблица интегралов .

В чем сложность изучения неопределенных интегралов? Если в производных имеют место строго 5 правил дифференцирования, таблица производных и довольно четкий алгоритм действий, то в интегралах всё иначе. Существуют десятки способов и приемов интегрирования. И, если способ интегрирования изначально подобран неверно (т.е. Вы не знаете, как решать), то интеграл можно «колоть» буквально сутками, как самый настоящий ребус, пытаясь приметить различные приемы и ухищрения. Некоторым даже нравится.

Между прочим, нам довольно часто приходилось слышать от студентов (не гуманитарных специальностей) мнение вроде: «У меня никогда не было интереса решить предел или производную, но вот интегралы – совсем другое дело, это увлекательно, всегда есть желание «взломать» сложный интеграл». Стоп. Хватит чёрного юмора, переходим к этим самым неопределенным интегралам.

Коль скоро способов решения существует много, то с чего же начать изучение неопределенных интегралов чайнику? В интегральном исчислении существуют, на наш взгляд, три столпа или своеобразная «ось», вокруг которой вращается всё остальное. В первую очередь следует хорошо разобраться в простейших интегралах (эта статья).

Потом нужно детально проработать урок . ЭТО ВАЖНЕЙШИЙ ПРИЁМ! Может быть, даже самая важная статья из всех статей, посвященных интегралам. И, в-третьих, обязательно следует ознакомиться с методом интегрирования по частям , поскольку с помощью него интегрируется обширный класс функций. Если Вы освоите хотя бы эти три урока, то уже «не два». Вам могут «простить» незнание интегралов от тригонометрических функций , интегралов от дробей , интегралов от дробно-рациональных функций , интегралов от иррациональных функций (корней) , но вот если «сесть в лужу» на методе замены или методе интегрирования по частям – то это будет очень и очень скверно.

Итак, начинаем с простого. Посмотрим на таблицу интегралов. Как и в производных, мы замечаем несколько правил интегрирования и таблицу интегралов от некоторых элементарных функций. Любой табличный интеграл (да и вообще любой неопределенный интеграл) имеет вид:

Сразу разбираемся в обозначениях и терминах:

– значок интеграла.

– подынтегральная функция (пишется с буквой «ы»).

– значок дифференциала. Что это такое, мы рассмотрим совсем скоро. Главное, что при записи интеграла и в ходе решения важно не терять данный значок. Заметный недочет будет.

– подынтегральное выражение или «начинка» интеграла.

– первообразная функция.

– . Не нужно сильно загружаться терминами, здесь самое важное, что в любом неопределенном интеграле к ответу приплюсовывается константа .

Решить неопределенный интеграл – это значит найти множество первообразных функций от данной подынтегральной функции

Еще раз посмотрим на запись:

Посмотрим в таблицу интегралов.

Что происходит? Левые части у нас превращаются в другие функции: .

Упростим наше определение:

Решить неопределенный интеграл– это значит ПРЕВРАТИТЬ его в неопределенную (с точностью до константы) функцию , пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.

Возьмем, например, табличный интеграл . Что произошло? Символическая запись превратилась в множество первообразных функций .

Как и в случае с производными, для того, чтобы научиться находить интегралы, не обязательно быть в курсе, что такое интеграл, или первообразная функция с теоретической точки зрения. Достаточно просто осуществлять превращения по некоторым формальным правилам. Так, в случае совсем не обязательно понимать, почему интеграл превращается именно в . Можно принять эту и другие формулы как данность. Все пользуются электричеством, но мало кто задумывается, как там по проводам бегают электроны.

Так как дифференцирование и интегрирование – противоположные операции, то для любой первообразной, которая найденаправильно, справедливо следующее:

Иными словами, если продифференцировать правильный ответ, то обязательно должна получиться исходная подынтегральная функция.

Вернемся к тому же табличному интегралу .

Убедимся в справедливости данной формулы. Берем производную от правой части:

– это исходная подынтегральная функция.

Вот, кстати, стало понятнее, почему к функции всегда приписывается константа . При дифференцировании константа всегда превращается в ноль.

Решить неопределенный интеграл – это значит найти множество всех первообразных, а не какую-то одну функцию. В рассматриваемом табличном примере , , , и т. д. – все эти функции являются решением интеграла . Решений бесконечно много, поэтому записывают коротко:

Таким образом, любой неопределенный интеграл достаточно легко проверить. Это некоторая компенсация за большое количество интегралов разных видов.

Переходим к рассмотрению конкретных примеров. Начнем, как и при изучении производной, с двух правил интегрирования:

– константу C можно (и нужно) вынести за знак интеграла.

– интеграл суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) двух интегралов. Данное правило справедливо для любого количества слагаемых.

Как видите, правила, в принципе, такие же, как и для производных. Иногда их называют свойствами линейности интеграла.

Пример 1

Найти неопределенный интеграл.

Выполнить проверку.

Решение: Удобнее преобразовать его, как.

(1) Применяем правило . На забываем записать значок дифференциала dx под каждым интегралом. Почему под каждым? dx – это полноценный множитель. Если расписывать детально, то первый шаг следует записать так:

.

(2) Согласно правилу выносим все константы за знаки интегралов. Обратите внимание, что в последнем слагаемом tg 5 – это константа, её также выносим.

Кроме того, на данном шаге готовим корни и степени для интегрирования. Точно так же, как и при дифференцировании, корни надо представить в виде. Корни и степени, которые располагаются в знаменателе – перенести вверх.

Примечание: в отличие от производных, корни в интегралах далеко не всегда следует приводить к виду , а степени переносить вверх.

Например, – это готовый табличный интеграл, который уже посчитали до Вас, и всякие китайские хитрости вроде совершенно не нужны. Аналогично: – это тоже табличный интеграл, нет никакого смысла представлять дробь в виде . Внимательно изучите таблицу!

(3) Все интегралы у нас табличные. Осуществляем превращение с помощью таблицы, используя формулы: , и

для степенной функции - .

Следует отметить, что табличный интеграл – это частный случай формулы для степенной функции: .

Константу C достаточно приплюсовать один раз в конце выражения

(а не ставить их после каждого интеграла ).

(4)Записываем полученный результат в более компактном виде, когда все степени вида

снова представляем в виде корней, а степени с отрицательным показателем сбрасываем обратно в знаменатель.

Проверка. Для того чтобы выполнить проверку нужно продифференцировать полученный ответ:

Получена исходная подынтегральная функция , т. е. интеграл найден правильно. От чего плясали, к тому и вернулись. Хорошо, когда история с интегралом заканчивается именно так.

Время от времени встречается немного другой подход к проверке неопределенного интеграла, когда от ответа берется не производная, а дифференциал:

.

В итоге получаем не подынтегральную функцию, а подынтегральное выражение.

Не стоит пугаться понятия дифференциал.

Дифференциал – это производная, умноженная на dx .

Однако нам важны не теоретические тонкости, а то, что с этим дифференциалом дальше делать. Дифференциал раскрывается следующим образом: значок d убираем, справа над скобкой ставим штрих, в конце выражения приписываем множитель dx :

Получено исходное подынтегральное выражение , то есть интеграл найден правильно.

Как видите, дифференциал сводится к нахождению производной. Второй способ проверки мне нравится меньше, так как приходиться дополнительно рисовать большие скобки и тащить значок дифференциала dx до конца проверки. Хотя он корректнее, или «солиднее», что ли.

На самом деле можно было умолчать о втором способе проверки. Дело не в способе, а в том, что мы научились раскрывать дифференциал. Еще раз.

Дифференциал раскрывается следующим образом:

1) значок d убираем;

2) справа над скобкой ставим штрих (обозначение производной);

3) в конце выражения приписываем множитель dx .

Например:

Запомните это. Рассмотренный приём потребуется нам очень скоро.

Пример 2

.

Когда мы находим неопределенный интеграл, то ВСЕГДА стараемся сделать проверку , тем более, для этого есть прекрасная возможность. Далеко не все типы задач в высшей математике являются подарком с этой точки зрения. Неважно, что часто в контрольных заданиях проверки не требуется, её никто, и ничто не мешает провести на черновике. Исключение можно сделать лишь тогда, когда не хватает времени (например, на зачете, экзамене). Лично я всегда проверяю интегралы, а отсутствие проверки считаю халтурой и некачественно выполненным заданием.

Пример 3

Найти неопределенный интеграл:

. Выполнить проверку.

Решение: Анализируя интеграл, мы видим, что у нас под интегралом произведение двух функций, да еще и возведение в степень целого выражения. К сожалению, на поприще интегральной битвы нет хороших и удобных формул для интегрирования произведения и частного в виде: или .

Поэтому, когда дано произведение или частное, всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли преобразовать подынтегральную функцию в сумму? Рассматриваемый пример – тот случай, когда можно.

Сначала приведём полное решение, комментарии будут ниже.

(1) Используем старую добрую формулу квадрата суммы для любых действительных чисел , избавляясь от степени над общей скобкой. за скобки и применяя формулу сокращенного умножения в обратном направлении: .

Пример 4

Найти неопределенный интеграл

Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока.

Пример 5

Найти неопределенный интеграл

. Выполнить проверку.

В данном примере подынтегральная функция представляет собой дробь. Когда мы видим в подынтегральном выражении дробь, то первой мыслью должен быть вопрос: «А нельзя ли как-нибудь от этой дроби избавиться, или хотя бы её упростить?».

Замечаем, что в знаменателе находится одинокий корень из «икс». Один в поле – не воин, значит, можно почленно разделить числитель на знаменатель:

Действия с дробными степенями мы не комментируем, так как о них неоднократно шла речь в статьях о производной функции.

Если Вас все-таки ставит в тупик такой пример, как

и ни в какую не получается правильный ответ ,

Также обратите внимание, что в решении пропущен один шаг, а именно, применение правил , . Обычно при определенном опыте решения интегралов данные правила считают очевидным фактом и не расписывают подробно.

Пример 6

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока.

В общем случае с дробями в интегралах не всё так просто, дополнительный материал по интегрированию дробей некоторых видов можно найти в статье: Интегрирование некоторых дробей . Но, прежде чем перейти к вышеуказанной статье, необходимо ознакомиться с уроком: Метод замены в неопределенном интеграле . Дело в том, что подведение функции под дифференциал или метод замены переменной является ключевым моментом в изучении темы, поскольку встречается не только «в чистых заданиях на метод замены», но и во многих других разновидностях интегралов.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Пример 4: Решение:

В данном примере мы использовали формулу сокращенного умножения

Пример 6: Решение:

Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры решений

На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом Неопределенный интеграл. Примеры решений , где объяснено в доступной форме, что такое интеграл и подробно разобраны базовые примеры для начинающих.

Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:

– Подведение функции под знак дифференциала.

– Собственно замена переменной.

По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному. Начнем с более простого случая.